Restklassenbildung/Kommutative Ringe/Ideal/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Eine Ideal ist insbesondere eine Untergruppe der kommutativen Gruppe ${}(R,+,0)$. Bei ${}R=\mathbb {Z}$ ist jede Untergruppe bereits ein Ideal. Die Restklassengruppe ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist in kanonischer Weise nach Fakt eine kommutative Gruppe und die kanonische Abbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}$

ist mit der Addition verträglich. Wir werden sehen, dass man in ${}R/{\mathfrak {a}}$ zusätzlich eine Multiplikation und ein Einselement definieren kann derart, dass ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem kommutativen Ring wird und dass die kanonische Abbildung auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist.

Die Nebenklassen ${}a+{\mathfrak {a}}$ sind gerade die Nebenklassen zur Untergruppe ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. Zwei Elemente ${}a,b\in R$ definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also ${}a+{\mathfrak {a}}=b+{\mathfrak {a}}$, wenn ihre Differenz ${}a-b$ zum Ideal gehört.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${}{\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}R$ mit der kanonischen Projektion

$q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}q$ ein Ringhomomorphismus ist.

Beweis

Nach Fakt gibt es nur eine Gruppenstruktur auf ${}R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.

Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur ${}{\overline {1}}\,$ als neutrales Element der Multiplikation und

${}{\overline {a}}\,{\overline {b}}\,={\overline {ab}}\,\,$

als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also ${}{\overline {a}}\,={\overline {a'}}\,$ und ${}{\overline {b}}\,={\overline {b'}}\,$. Dann ist ${}a-a'\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b-b'\in {\mathfrak {a}}$ bzw. ${}a'=a+x$ und ${}b'=b+y$ mit ${}x,y\in {\mathfrak {a}}$. Daraus ergibt sich

${}a'b'=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy\,.$

Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, so dass die Differenz ${}a'b'-ab\in {\mathfrak {a}}$ ist.

Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.

$\Box$

Die kanonische Projektion nennt man wieder die Restklassenabbildung oder den Restklassenhomomorphismus. Das Bild von ${}a\in R$ in ${}R/{\mathfrak {a}}$ wird mit ${}[a]$, häufig aber auch mit ${}{\overline {a}}$ oder einfach mit ${}a$ selbst bezeichnet und heißt die Restklasse von ${}a$. Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf ${}0$, d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal.