Restklasssenring/Z/Charakteristik/Textabschnitt

Die Charakteristik von ${}\mathbb {Z} /(d)$ ist ${}d$. Dies zeigt insbesondere, dass es zu jeder Zahl ${}n$ Ringe gibt mit dieser Charakteristik. Zu einem beliebigen Ring ${}R$ der Charakteristik ${}d$ faktorisiert der charakteristische Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow R$ nach Fakt durch Ringhomomorphismen

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow R,$

wobei die hintere Abbildung injektiv ist. Der Ring ${}\mathbb {Z} /(d)$, ${}d=\operatorname {char} (R)$, ist der kleinste Unterring von ${}R$, und wird der Primring von ${}R$ genannt.

Korollar

Seien ${}n$ und ${}k$ positive natürliche Zahlen, und ${}k$ teile ${}n$.

Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k),\,(a\mod n)\longmapsto (a\mod k).$

Beweis

Wir betrachten die Ringhomomorphismen

${\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} /(k)\\\!\phi \!\downarrow &&\\\mathbb {Z} /(n)&&\end{matrix}}$

Aufgrund der Teilerbeziehung haben wir die Beziehung

${}\operatorname {kern} \phi =(n)\subseteq (k)=\operatorname {kern} \varphi \,.$

Aufgrund des Homomorphiesatzes hat man daher einen kanonischen Ringhomomorphismus von links unten nach rechts oben.

$\Box$