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Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Struktursatz/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Beweis

Es sei fixiert. Die Endlichkeit bleibt erhalten, wenn man zu einer offenen Teilmenge übergeht und

betrachtet. Wir können davon ausgehen, dass ein Kartengebiet ist mit und dass außerhalb von keine Verzweigung vorliegt. Es liegt dann nach Fakt und Fakt eine endliche Überlagerung

mit einer gewissen Blätterzahl vor. Es seien die Urbildpunkte von . Durch Verkleinerung von kann man annehmen, dass die disjunkte Vereinigung von offenen Umgebungen ist mit ist. Würde es nämlich eine weitere disjunkte offene Menge im Urbild geben, die keinen Urbildpunkt von enthält, so sei mit dem Bildpunkt . Dann wäre die Liftung eines Verbindungsweges von nach , die es nach Fakt gibt, in nicht abgeschlossen, was der Eigentlichkeit widerspricht. Nach einer weiteren Verkleinerung können wir nach Fakt davon ausgehen, dass jede eingeschränkte Abbildung nach einem Kartenwechsel eine Potenzierung ist.