Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Halm/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und sei ${}x\in X$. Es sei

$\vartheta \colon {\mathcal {O}}_{Y,{\varphi (x)}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$

der zugehörige Ringhomomorphismus der Halme. Zeige, dass die folgenden Zahlen übereinstimmen.

1. Die Verzweigungsordnung von ${}\varphi$ in ${}x$.
2. Der Exponent von ${}\varphi$ einer lokalen Beschreibung von ${}\varphi$ im Sinne von Fakt.
3. Die Verzweigungsordnung von ${}\vartheta$.

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