Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Invertierbar/Bemerkung

Auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist die Garbe der holomorphen Differentialformen invertierbar. Dies beruht einfach darauf, dass nach Fakt lokal auf einer offenen Kreisscheibe mit der Variablen ${}z$ die holomorphen Differentialformen die Form ${}fdz$ mit einer eindeutig bestimmten holomorphen Funktion ${}f$ besitzen. Daher gibt es lokal einen Isomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{U}\rightarrow \Omega _{U}$. Die Garbe der holomorphen Differentialformen ist aber im Allgemeinen nicht trivial, in der Tat reflektieren ihre globalen Eigenschaften wichtige Informationen über ${}X$ selbst. Auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ ist nach Fakt jede global definierte holomorphe Funktion konstant, es ist also

${}\dim _{K}{\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}=1\,.$

Dagegen ist die Vektorraumdimension von ${}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ eine wichtige Invariante von ${}X$, die (endlich ist und) das differentielle Geschlecht von ${}X$ heißt. Nach Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf der projektiven Geraden den Grad ${}-2$, daher ist ${}\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ nicht isomorph zur Strukturgarbe.