Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Textabschnitt

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Definition  

Zu einer meromorphen Differentialform auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche definiert man den zugehörigen Divisor durch

mit , wenn eine lokale Beschreibung der Form mit einer meromorphen Funktion ist.

Einen solchen Divisor nennt man auch einen kanonischen Divisor.


Beispiel  

Wir betrachten auf der projektiven Geraden die Einbettung mit der Variablen und der zugehörigen meromorphen Differentialformen. . Da auf ganz ein lokaler Parameter ist, ist der zugehörige Divisor auf trivial. Um im unendlich fernen Punkt für die Ordnung zu bestimmen muss man mit dem lokalen Parameter arbeiten. Es ist

und daher ist die Ordnung in gleich .



Beispiel  

Auf einem komplexen Torus zu einem Gitter gibt es nach Fakt die holomorphe Differentialform , die der -invarianten Differentialform auf entspricht. Diese besitzt weder eine Polstelle noch eine Nullstelle, der zugehörige Divisor ist also trivial.




Lemma

Es sei eine riemannsche Fläche. Für die Divisoren zu meromorphen Differentialformen gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sind zueinander linear äquivalent.
  2. Für eine meromorphe Differentialform und eine meromorphe Funktion ist
  3. Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors die Beziehung

    Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung

Beweis

Siehe Aufgabe.


Nach Fakt  (1) sind sämtliche kanonischen Divisoren zueinander linear äquivalent und definieren daher eine eindeutige Klasse in der Divisorenklassengruppe, die die kanonische Klasse heißt. Für eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche folgt aus Fakt  (1) in Verbindung mit Fakt, dass der Grad eines kanonischen Divisors auf wohldefiniert ist. Gemäß Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf der projektiven Geraden den Grad , gemäß Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf einem Torus den Grad . In Fakt wird gezeigt, dass der Grad gleich , wenn das Geschlecht der riemannschen Fläche bezeichnet.