Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$ mit einem Divisor ${}D$. Es sei ${}g$ das Geschlecht von ${}X$ und es sei ${}K$ ein kanonischer Divisor. Wegen Fakt genügt es zu zeigen, dass

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),{\mathbb {C} }\right)}\cong {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\right)}^{*},\,\theta \longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )\right),$

auch surjektiv ist. Es sei dazu

$\lambda \colon H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine Linearform ${}\neq 0$. Es sei ${}P\in X$ ein Punkt, wir betrachten die Divisoren ${}D_{n}=D-nP$. Es sei zunächst ${}n$ fixiert. Ein globaler Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ definiert durch Tensorierung (siehe Fakt) mit ${}{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})$ einen Homomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\otimes {\mathcal {O}}_{X}(nP)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)$

und damit via

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})){\stackrel {H^{1}(s)}{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }$

eine Linearform auf ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))$, die wir mit ${}s\lambda$ bezeichnen. Es sei

${}\Lambda _{n}={\left\{s\lambda \mid s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\right\}}\subseteq {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\,.$

Für ${}s\neq 0$ ist nach Fakt auch ${}s\lambda \neq 0$ und daher ist die Gesamtzuordnung

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}$

injektiv. Insbesondere haben ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ und ${}\Lambda _{n}$ die gleiche Dimension. Daher haben wir nach Fakt die Dimensionsabschätzung

${}\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Lambda _{n}\right)}\geq n+1-g\,.$

Neben ${}\Lambda _{n}$ betrachten wir einen weiteren Untervektorraum von ${}{\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}$, nämlich das natürliche Bild

$B_{n}=\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\right)}\,.$

Dessen Dimension stimmt nach Fakt mit der Dimension von ${}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$ überein und kann nach Fakt (mit ${}{\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(K-D)$ und ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(nP)$) durch

${}\dim _{K}{\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\right)}\geq n+c\,$

für ein von ${}D$ und ${}K$ abhängiges ${}c$ abgeschätzt werden. Ferner ist für

${}n>\operatorname {Grad} \,(D)\,$

der Grad von ${}D_{n}$ negativ und somit besitzt für diese ${}D_{n}$ keine globalen Schnitte nach Fakt. Nach Fakt ist daher

${}h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))=g-1-\operatorname {Grad} \,(D_{n})=n+g-1-\operatorname {Grad} \,(D)\,.$

Die Zahl ${}n$ geht also in alle drei relevanten Dimensionen einfach linear ein. Für ${}n$ hinreichend groß übertrifft also die Summe der Dimensionen von ${}\Lambda _{n}$ und von ${}B_{n}$ die Dimension des umgebenden Raumes. Es sei nun ein solches ${}n$ gewählt. Nach Fakt ist dann

${}\Lambda _{n}\cap B_{n}\neq \emptyset \,.$

Ein nichttriviales Element darin hat einerseits eine Darstellung als ${}s\lambda$ mit ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ und andererseits als Bild von einem Element ${}\omega$ aus ${}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$. Es gilt also

${}s\lambda =\omega \,.$

Wegen ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ ist ${}\operatorname {div} {\left(s\right)}\geq -nP$. Somit ist ${}-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq 0$ und daher ist

${}D':=D_{n}-\operatorname {div} {\left(s\right)}=D-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq D\,.$

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei alle Abbildungen injektiv sind. Wir fassen das ${}\lambda$ von rechts oben rechts unten auf. Wegen

${}\omega \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$ ist ${}{\frac {\omega }{s}}\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}+\operatorname {div} {\left(s\right)}))=H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))$. Dabei gilt rechts unten die Gleichheit ${}{\frac {\omega }{s}}=\lambda$. Nach Fakt rührt damit ${}\lambda$ von oben links her.

Zur bewiesenen Aussage