Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht 1/DKG 0/Bijektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Die Surjektivität ist ein Spezialfall von Fakt. Zum Nachweis der Injektivität seien ${}P_{1},P_{2}\in X$ und sei ${}[P_{1}]-[Q]=[P_{2}]-[Q]$. Dann ist ${}P_{1}-P_{2}$ ein Hauptdivisor. Es gibt also eine meromorphe Funktion ${}f$ auf ${}X$ mit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=P_{1}-P_{2}\,.$

Diesem ${}f$ entspricht bei ${}P_{1}\neq P_{2}$ nach Fakt eine endliche holomorphe Abbildung

$f\colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$

wobei das Urbild zu ${}0$ (und zu ${}\infty$) aus einem einzigen Punkt besteht (nämlich aus ${}P_{1}$ bzw ${}P_{2}$). Nach Fakt ist dann ${}f$ bijektiv und somit biholomorph. Die projektive Gerade hat aber nach Fakt das Geschlecht ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage