Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht 1/DKG 0/Bijektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Die Surjektivität ist ein Spezialfall von Fakt. Zum Nachweis der Injektivität seien  $P_1,P_2\in X$  und sei  $[P_1]-[Q]=[P_2]-[Q]$.  Dann ist $P_1-P_2$ ein Hauptdivisor. Es gibt also eine meromorphe Funktion $f$ auf $X$ mit

$\mathrm{div}\left(f\right)=P_1-P_2.$

Diesem $f$ entspricht bei  $P_1\ne P_2$  nach Fakt eine endliche holomorphe Abbildung

$f:X⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^1,$

wobei das Urbild zu $0$ (und zu $\mathrm{\infty }$) aus einem einzigen Punkt besteht (nämlich aus $P_1$ bzw $P_2$). Nach Fakt ist dann $f$ bijektiv und somit biholomorph. Die projektive Gerade hat aber nach Fakt das Geschlecht $0$.

Zur bewiesenen Aussage