Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialformen/Erste Kohomologie/Residuum/Fakt/Beweis

Beweis

Jede Hauptteilverteilung besitzt endlich viele Trägerpunkte. Da der verbindende Homomorphismus und die Residuenabbildung ${}{\mathbb {C} }$-linear sind, können wir davon ausgehen, das die Hauptteilverteilung in einem einzigen Punkt ${}P$ konzentriert ist. Die Hauptteilverteilung wird dann durch eine meromorphe Differentialform ${}\tau$ auf einer offenen Kreisscheibenumgebung ${}U$, wobei ${}\tau$ auf ${}U\setminus \{P\}$ holomorph sei, und durch die Nullform auf ${}V=X\setminus \{P\}$ repräsentiert. Der erste Čech-Kozykel in ${}\Omega _{X}$, also ${}\delta \tau$, wird dann durch die holomorphe Differentialform ${}\tau$ auf

${}U\cap V=U\setminus \{P\}\,$

repräsentiert. Für diesen gibt es wiederum ${}1$-Formen ${}\omega _{1}\in \Gamma {\left(U,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ und ${}\omega _{2}\in \Gamma {\left(V,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ mit

${}\tau =\omega _{1}-\omega _{2}\,$

auf ${}U\setminus \{P\}$. Da ${}\tau$ holomorph ist, ist

${}d\tau =0\,$

nach Fakt. Somit legen diese ${}1$-Formen die ${}2$-Form ${}\sigma \in H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ fest, wobei lokal

${}d\omega _{1}=\sigma =d\omega _{2}\,$

gilt. Ferner gilt

${}\delta \tau =\delta \sigma \,$

in ${}H^{1}(X,\Omega _{X})$, wobei die beiden ${}\delta$ verbindende Homomorphismen zu unterschiedlichen Garbensequenzen bezeichnen. Nach der Definition des Residuums für eine holomorphe Kohomologieklasse muss man ${}\sigma$ über der Fläche intergrieren.

Es seien ${}P\in U'\subset U^{\prime \prime }\subset U$ offene Kreisumgebungen (in der Karte) mit unterschiedlichen Radien. Es sei ${}f$ eine reellwertige unendlich oft differenzierbare Funktion auf ${}X$, die auf ${}U'$ den konstanten Wert ${}1$ und außerhalb von ${}U^{\prime \prime }$ den konstanten Wert ${}0$ besitzt, was es nach Fakt gibt. Wir setzen ${}g:=1-f$. Die Form ${}g\omega _{2}$ ist auf ${}V$ definiert, da sie aber auf ${}U'$ den Wert ${}0$ hat, kann man sie zu einer globalen Form aus ${}{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}$ fortsetzen. Ferner besitzt ${}f\omega _{2}$ auf ${}U'\setminus \{P\}$ die Eigenschaft

${}d(f\omega _{2})=d\omega _{2}=d{\left(\omega _{1}-\tau \right)}=d\omega _{1}\,,$

da ${}\tau$ holomorph ist. Dies sichert, dass man die Form ${}d(f\omega _{2})$ als globale Form auffassen kann. Insgesamt gilt

${}\sigma =dg\omega _{2}+df\omega _{2}\,,$

wobei dies auf ${}V$ unmittelbar wegen ${}g+f=1$ gilt und auf ${}U'$ ebenso aufgrund der konstruierten Fortsetzungen. Nach dem Satz von Stokes (ohne Rand) ist

${}\int _{X}d(g\omega _{2})=0\,.$

Also ist unter Verwendung des Satzes von Stokes (mit Rand)

${}{\begin{aligned}\operatorname {Res} _{}\left(\delta (\tau )\right)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}dg\omega _{2}+df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}d{\left(f\omega _{1}-f\tau \right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f\omega _{1}-f\tau \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }-f\tau \\&=\operatorname {Res} _{P}\left(f\tau \right)\\&=\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right),\end{aligned}}$

wobei ${}\gamma$ eine einfache Umrundung mit dem Uhrzeigersinn von ${}P$ in ${}U\setminus U^{\prime \prime }$ ist und worauf ${}f\omega _{1}$ gleich ${}0$ ist.

Zur bewiesenen Aussage