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Riemannsche Fläche/Kompakt/Konstante Funktionen/Auflösung/Kohomologie/Fakt/Beweis

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Beweis

Aus der kurzen exakten Garbensequenz (siehe Fakt)

erhält man die lange exakte Kohomologiesequenz

von -Vektorräumen. Wegen des Zusammenhangs sind die beiden ersten Terme gleich . Hinten haben wir gemäß Bemerkung verwendet. Ferner weiß man aus der Topologie . Wegen Fakt ist eindimensional, es liegt also hinten auch ein Isomorphismus vor. Dies zusammen bedeutet, dass eine kurze exakte Sequenz

vorliegt. Die Räume links und rechts haben nach Fakt die Dimension , also besitzt der Raum in der Mitte die Dimension .