Riemannsche Fläche/Kompakt/Konstante Funktionen/Auflösung/Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Aus der kurzen exakten Garbensequenz (siehe Fakt)

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

erhält man die lange exakte Kohomologiesequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{2}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow 0$

von ${}{\mathbb {C} }$-Vektorräumen. Wegen des Zusammenhangs sind die beiden ersten Terme gleich ${}{\mathbb {C} }$. Hinten haben wir ${}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$ gemäß Bemerkung verwendet. Ferner weiß man aus der Topologie ${}H^{2}(X,{\mathbb {C} })={\mathbb {C} }$. Wegen Fakt ist ${}H^{1}(X,\Omega _{X})$ eindimensional, es liegt also hinten auch ein Isomorphismus vor. Dies zusammen bedeutet, dass eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{0}(X,\Omega _{X})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathbb {C} })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt. Die Räume links und rechts haben nach Fakt die Dimension ${}g$, also besitzt der Raum in der Mitte die Dimension ${}2g$.

Zur bewiesenen Aussage