Riemannsche Fläche/Kompakt/Riemann-Roch/Ohne erste Kohomologie/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$. Es sei ${}K$ ein kanonischer Divisor von ${}X$. Dann ist

${}h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))=\operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$

Dies beruht darauf, dass aufgrund der Serre-Dualität die Vektorräume ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))$ und ${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}$ dual zueinander sind und deshalb die gleiche Dimension besitzen. Ferner ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D)\otimes \Omega _{X}\right)}\\&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(K)\right)}\\&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D)\right)}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe