Riemannsche Flächen/Divisoren/Invertierbare Garben/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}D$ ein Divisor auf ${}X$. Dann nennt man die durch

${\mathcal {L}}_{D}(U):={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}}\,$

die zu ${}D$ zugehörige invertierbare Garbe.

Häufig betrachtet man auch ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)={\mathcal {L}}_{-D}$ als die zugehörige Garbe, beide Konventionen haben Vor- und Nachteile. Die Bedingung

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$

ist äquivalent zu

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}-D\geq 0\,,$

es ist dann ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}-D$ ein zu ${}-D$ linear äquivalenter effektiver Divisor.

Beispiel

Zum Nulldivisor auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist die zugehörige invertierbare Garbe einfach die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$. Dies beruht einfach darauf, dass die polstellenfreien meromorphen Funktionen genau die holomorphen Funktionen sind.

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Dann besitzt die Zuordnung, die einem Divisor ${}D$ die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}_{D}$ zuordnet, folgende Eigenschaften.

1. Die Garbe ${}{\mathcal {L}}_{D}$ ist in der Tat invertierbar.
2. Für Divisoren ${}D,E$ ist ${}D\geq E$ genau dann, wenn ${}{\mathcal {L}}_{D}\subseteq {\mathcal {L}}_{E}$ gilt.
3. Für Divisoren ${}D,E$ ist ${}D=E$ genau dann, wenn ${}{\mathcal {L}}_{D}={\mathcal {L}}_{E}$ (als Untergarben) ist.
4. Es ist

   ${}{\mathcal {L}}_{D+E}={\mathcal {L}}_{D}\otimes {\mathcal {L}}_{E}\,.$

5. Es ist

   ${}{\mathcal {L}}{\left(-D\right)}\cong {\mathcal {L}}_{D}^{*}\,$

6. Für jede invertierbare Untergarbe ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}_{X}$ gibt es einen Divisor ${}D$ mit ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{D}$.

Beweis

1. Aufgrund der lokalen Definition liegt eine Untergarbe von kommutativen Gruppen der Modulgarbe der meromorphen Funktionen vor. Zu einer holomorphen Funktion ${}h\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}f\in {\mathcal {L}}_{D}(U)$ gehört wegen

   ${}\operatorname {div} {\left(hf\right)}=\operatorname {div} {\left(h\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$

   auch ${}hf$ zu ${}{\mathcal {L}}_{D}(U)$. Also liegt eine Modulgarbe vor. Zu dem Divisor ${}D$ gibt es zu jedem Punkt ${}P\in X$ eine zusammenhängende offene Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ und eine meromorphe Funktion ${}g\neq 0$ auf ${}U$, deren Hauptdivisor gleich ${}D{|}_{U}$ ist. Die Konstruktion der zugehörigen Garbe ist lokal, die Invertierbarkeit können wir also auf ${}U$ nachweisen. Es ist also

   ${}{\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{D}(U)&={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}}\\&={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq \operatorname {div} {\left(g\right)}{\text{ auf }}U\right\}}.\end{aligned}}$

   Dabei besitzt die meromorphe Funktion ${}f/g$ auf ${}U$ einen Divisor, der überall nichtnegativ ist und daher ist ${}f/g$ auf ${}U$ nach Fakt holomorph. Also ist

   ${\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{D}{|}_{U},\,1\longmapsto g,$

   ein Isomorphismus.

2. Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung wissen wir für jede offene Menge ${}U$ und jede meromorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$, dass

   ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$

   auf ${}U$ genau dann gilt, wenn

   ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\,$

   gilt. Wenn sich ${}D$ und ${}E$ in einem Punkt ${}P$ unterscheiden, so kann man ein Kartengebiet um ${}P$ wählen, dass außer ${}P$ keinen weiteren Trägerpunkt von ${}D$ oder von ${}E$ enthält. Dann gibt es aber eine meromorphe Funktion, deren Ordnung an ${}P$ mit der von ${}D$ übereinstimmt aber nicht mit der von ${}E$.

3. Dies folgt aus (2).
4. Dies beruht darauf, dass das Tensorprodukt von invertierbaren Garben, die als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen vorliegen, lokal durch das Produkt der Erzeuger gegeben ist.
5. Wenn ${}{\mathcal {L}}_{D}$ lokal auf ${}U_{i}$ durch die meromorphe Funktion ${}g_{i}$ erzeugt wird, so wird die duale Garbe lokal durch ${}g_{i}^{-1}$ erzeugt.
6. Siehe Aufgabe.

$\Box$

Wir haben also einen Gruppenisomorphismus zwischen der Divisorengruppe und der Gruppe der invertierbaren Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen. Man kann ferner zeigen, dass überhaupt jede invertierbare Garbe auf einer riemannschen Fläche sich als Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen realisieren lässt. Auch die lineare Äquivalenz von Divisoren, die ja die Grundlage zur Einführung der Divisorenklassengruppe ist, spiegelt sich auf der Seite der invertierbaren Untergarben wieder.

Satz

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.

Divisoren ${}D,E$ sind genau dann linear äquivalent, wenn die zugehörigen invertierbaren Garben ${}{\mathcal {L}}_{D}$ und ${}{\mathcal {L}}_{E}$ isomorph sind.

Beweis

Die Divisoren seien zuerst linear äquivalent. Es sei also

${}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}\,$

mit einer meromorphen Funktion ${}h\neq 0$. Wir behaupten, dass durch die Multiplikation mit ${}h$, also

$h\colon {\mathcal {L}}_{D}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{E},$

ein Isomorphismus von invertierbaren Garben gegeben ist. Die Abbildung ist auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

${\mathcal {L}}_{D}(U)={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{E}(U)={\left\{g\mid g{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(g\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}},\,f\longmapsto fh,$

gegeben. Sie ist wohldefiniert, mit Restriktionen verträglich, erhält die Modulstruktur und ist ein Isomorphismus, wobei die Umkehrabbildung durch die Multiplikation mit ${}h^{-1}$ gegeben ist.

Wenn die beiden Garben ${}{\mathcal {L}}_{D}$ und ${}{\mathcal {L}}_{E}$ isomorph sind, so kann man durch Tensorierung mit ${}{\mathcal {L}}_{-E}$ unter Verwendung von Fakt  (4,5) auf die Situation reduzieren, wo ${}{\mathcal {L}}_{D}$ isomorph zur Strukturgarbe ist. Es ist dann zu zeigen, dass ${}D$ ein Hauptdivisor ist. Der Isomorphismus ist durch eine Abbildung

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{D},\,1\longmapsto f,$

gegeben. Wir behaupten ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=D$. Wegen ${}f\in {\mathcal {L}}_{D}(X)$ ist

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,.$

Wenn in einem Punkt die Ordnung links echt größer als die Ordnung rechts wäre, so wäre die Abbildung in diesem Halm kein Isomorphismus.

$\Box$

Definition

Zu einem Divisor ${}D$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ nennt man den Grad von ${}D$ auch den Grad von ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$.

Mit dieser Festlegung haben invertierbare Garben mit nichttrivialen globalen Schnitten einen positiven Grad.