Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Prägarbe/Halm/Bemerkung

Zu einer holomorphen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen den riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer offenen Menge ${}V\subseteq Y$ erhält man einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

$\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X}),\,h\longmapsto h\circ \varphi .$

Diese Familie von Abbildungen kommutieren mit den Restriktionen, man kann sie aber nicht unmittelbar als ein Morphismus von Prägarben auffassen, da die Prägarben auf unterschiedlichen Räumen leben. Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu beheben. Man kann die Prägarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ nach ${}Y$ transportieren, indem man die vorgeschobene Prägarbe ${}\varphi _{*}{\mathcal {O}}_{X}$ einführt, die durch

${}\Gamma {\left(V,\varphi _{*}{\mathcal {O}}_{X}\right)}:=\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})\,$

festgelegt ist. Die eben beschriebenen Ringhomomorphismen ergeben dann direkt einen Prägarbenmorphismus

${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \varphi _{*}{\mathcal {O}}_{X}$

von Prägarben von kommutativen Ringen auf ${}Y$.

Zu einem Punkt ${}Q\in Y$ erhält man einen Ringhomomorphismus der Halme

${\left({\mathcal {O}}_{Y}\right)}_{Q}\longrightarrow {\left(\varphi _{*}{\mathcal {O}}_{X}\right)}_{Q},$

wobei rechts der Kolimes über alle gemeinsamen offenen Umgebungen der Urbildpunkte von ${}Q$ steht. Für einen einzelnen Urbildpunkt ${}P\in X$ gibt es Ringhomomorphismen

${\left(\varphi _{*}{\mathcal {O}}_{X}\right)}_{Q}\longrightarrow {\left({\mathcal {O}}_{X}\right)}_{P}$

und

${\left({\mathcal {O}}_{Y}\right)}_{Q}\longrightarrow {\left({\mathcal {O}}_{X}\right)}_{P}.$

Letztere Abbildung ist eine Abbildung zwischen diskreten Bewertungsringen, die im Wesentlichen über Fakt festgelegt ist, siehe auch Aufgabe.