Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Decktransformationen und Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Für eine Decktransformation

$\varphi \colon Y\longrightarrow Y$

und eine meromorphe Funktion ${}f\in {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ ist auch ${}f\circ \varphi$ wieder meromorph, wobei meromorphe Funktionen auf ${}X$ in sich selbst überführt werden. Daher erhält man eine natürliche Abbildung

$\operatorname {Deck} {\left(Y{|}X\right)}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,({\mathcal {M}}{\left(Y\right)}{|}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}),$

die offenbar ein Gruppenhomomorphismus ist. Es werde ${}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ über ${}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ von der meromorphen Funktion ${}g$ erzeugt und es sei

${}H(T)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$

das Minimalpolynom mit ${}a_{j}\in {\mathcal {M}}{\left(X\right)}$. Es sei ${}Q\in X$ ein Punkt, der nicht im Verzweigungsbild liegt und wo die Koeffizientenfunktionen ${}a_{j}$ holomorph seien, mit den Urbildpunkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$. Dann besitzt ${}g$ an diesen Punkten unterschiedliche Werte. Aus ${}g\circ \varphi =g$ im Körper ${}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ für alle Decktransformationen ${}\varphi$ folgt, dass diese Punkte in sich selbst überführt werden und daraus ergibt sich überhaupt mit Fakt, dass ${}\varphi$ die Identität ist. Der Gruppenhomomorphismus ist also injektiv.

Es sei nun ${}\psi$ ein Automorphismus des Körpers. Dieser ist durch das Bild ${}{\tilde {g}}$ des Erzeugers ${}g$ festgelegt, und ${}{\tilde {g}}$ erfüllt ebenfalls das Minimalpolynom. Wir betrachten

${}V={\left\{(x,t)\in X'\times {\mathbb {C} }\mid H(x,t)=0\right\}}\subseteq X'\times {\mathbb {C} }\,,$

wobei ${}X'$ die Teilmenge von ${}X$ bezeichne, auf der eine Überlagerung ${}Y'\rightarrow X'$ vorliegt und so, dass die ${}a_{j}$ auf ${}X'$ und ${}g$ auf ${}Y'$ holomorph ist. Wegen Fakt ist ${}Y'$ biholomorph zum Nullstellengebilde zu ${}H$ über ${}X'$. Die Abbildung

${}\varphi (x,t)=(x,{\tilde {g}}(x,t))\,$

ist eine Decktransformation oberhalb von ${}X'$, die auf ${}\psi$ abbildet. Nach Fakt lässt sich die Decktransformation auf ganz ${}Y$ ausdehnen.

Zur bewiesenen Aussage