Beweis
Für eine Decktransformation
-
und eine meromorphe Funktion
ist auch
wieder meromorph, wobei meromorphe Funktionen auf
in sich selbst überführt werden. Daher erhält man eine natürliche Abbildung
-
die offenbar ein
Gruppenhomomorphismus
ist. Es werde
über
von der meromorphen Funktion
erzeugt und es sei
-
![{\displaystyle {}H(T)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2197f61714a5d73bae785f827d3a3d2a259a6380)
das
Minimalpolynom
mit
.
Es sei
ein Punkt, der nicht im Verzweigungsbild liegt und wo die Koeffizientenfunktionen
holomorph seien, mit den Urbildpunkten
. Dann besitzt
an diesen Punkten unterschiedliche Werte. Aus
im Körper
für alle Decktransformationen
folgt, dass diese Punkte in sich selbst überführt werden und daraus ergibt sich überhaupt mit
Fakt,
dass
die Identität ist. Der Gruppenhomomorphismus ist also
injektiv.
Es sei nun
ein Automorphismus des Körpers. Dieser ist durch das Bild
des Erzeugers
festgelegt, und
erfüllt ebenfalls das Minimalpolynom. Wir betrachten
-
![{\displaystyle {}V={\left\{(x,t)\in X'\times {\mathbb {C} }\mid H(x,t)=0\right\}}\subseteq X'\times {\mathbb {C} }\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e4e8cfbdd7c83419b86af159be29594751b942)
wobei
die Teilmenge von
bezeichne, auf der eine Überlagerung
vorliegt und so, dass die
auf
und
auf
holomorph ist. Wegen
Fakt
ist
biholomorph zum
Nullstellengebilde
zu
über
. Die Abbildung
-
![{\displaystyle {}\varphi (x,t)=(x,{\tilde {g}}(x,t))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0e2c2e1ca24e9e00bc66fce55f5e78d8f1cd74)
ist eine Decktransformation oberhalb von
, die auf
abbildet. Nach
Fakt
lässt sich die Decktransformation auf ganz
ausdehnen.