Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Definition

Paralleles Vektorfeld längs einer Kurve

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, wobei das Tangentialbündel ${}TM$ mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ eine differenzierbare Kurve. Man sagt, dass ein längs ${}\gamma$ definiertes differenzierbares Vektorfeld ${}F\colon I\rightarrow TM$ parallel längs ${}\gamma$ ist, wenn

${}(\nabla _{\partial }F)(t)=0\,$

für alle ${}t\in I$ gilt.