Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Zweite Ableitung/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit. Zu einer differenzierbaren Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M$

ist

$\gamma '\colon I\longrightarrow TM$

eine Kurve im Tangentialbündel, die eine Liftung zu ${}\gamma$ ist. Wenn diese wiederum differenzierbar ist, so erhält man eine Kurve

$\gamma ^{\prime \prime }\colon I\longrightarrow TTM,$

die man aber nicht mit ${}\gamma '$ in Bezug setzen kann, da sie in einem anderen Raum landet. Wenn hingegen auf ${}TM$ ein Zusammenhang gegeben ist, so kann man über die (zurückgezogene) vertikale Ableitung die zweite Ableitung über ${}\nabla _{\partial }\gamma '$ definieren.

Definition

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit versehen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang. Zu einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M$

nennt man ${}\pi _{\text{vert}}\circ TT(\gamma )$ die tangentiale Beschleunigung von ${}\gamma$.

Man schreibt dafür auch ${}\pi _{\text{vert}}\circ \gamma ^{\prime \prime }$ bzw. (als vertikale Ableitung längs ${}\gamma$) ${}\nabla _{\partial }\gamma '$, wobei

$\gamma '\colon I\longrightarrow TM$

als Schnitt im Tangentialbündel längs des Weges ${}\gamma$ aufgefasst und die Abbildungskette

$I{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}I\times \mathbb {R} =TI{\stackrel {T(\gamma ')}{\longrightarrow }}TTM{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}TM$

betrachtet wird.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

eine zweifach stetig differenzierbare Kurve.

Dann stimmt die tangentiale Beschleunigung von ${}\gamma$ im Sinne von Definition mit der tangentialen Beschleunigung im Sinne von Definition überein.

Beweis

Nach Fakt (was auch höherdimensional stimmt) stimmen die Zusammenhänge überein.

$\Box$