Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Einbettung/Volumenform/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei  $G\subseteq {ℝ}^m$  offen und sei  $M\subseteq G$  eine $n$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform $\omega$ versehen sei. Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen und es sei

$\phi :W⟶U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge  $U\subseteq M$.  Zeige, dass auf $W$ die Formel

$\begin{array}{cc}{\phi }^{\ast }\left(\omega {|}_U\right)& ={(det{\left(⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_i}\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_i}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_j}\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_j}\end{array}\right)⟩\right)}_{1\le i,j\le n})}^{1/2}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n\\ & ={(det{(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_i}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_j}+\cdots +\frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_i}\frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_j})}_{1\le i,j\le n})}^{1/2}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n\end{array}$

gilt.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen