Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Einbettung/Volumenform/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem ${ℝ}^m$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für  $Q\in W$ 

$\begin{array}{cc}{g}_{ij}(Q)& ={⟨T_Q(\phi )(e_i),T_Q(\phi )(e_j)⟩}_{\phi (Q)}\\ & =⟨T_Q(\phi )(e_i),T_Q(\phi )(e_j)⟩\\ & =⟨{\left(D\phi \right)}_Q\left(e_i\right),{\left(D\phi \right)}_Q\left(e_j\right)⟩\\ & =⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_i}(Q)\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_i}(Q)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_j}(Q)\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_j}(Q)\end{array}\right)⟩,\end{array}$

da ja der Tangentialraum $T_{\phi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des ${ℝ}^m$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus

Fakt.

Zur gelösten Aufgabe