Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt/Beweis

Beweis

  Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass  $P=0$  und  $\phi (P)=0$  ist. Es sei  $D={\left(D\phi \right)}_P$  die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung $D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung

$G\stackrel{\phi }{⟶}{V}_2\stackrel{D^{-1}}{⟶}{V}_1.$

Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist  $D^{-1}\circ D=\mathrm{Id}$.  Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für $\phi$, da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass $\phi :V_1\to V_1=V_2$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit  $\phi (0)=0$  ist, deren totales Differential in $0$ die Identität ist. Wir werden dennoch von $V_1$ und $V_2$ sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.
Sei  $y\in V_2$  fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung

$H_y:G⟶V_2,x⟼H_y(x)=x-\phi (x)+y.$

Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt  $x\in G$  ist genau dann ein Fixpunkt von $H_y$, also ein Punkt mit  $H_y(x)=x-\phi (x)+y=x$,  wenn  $\phi (x)=y$  ist, d.h. wenn $x$ ein Urbild von $y$ unter $\phi$ ist. Die Abbildungen $H_y$ sind selbst stetig differenzierbar und es gilt  ${\left(D{H}_y\right)}_x=\mathrm{Id}-{\left(D\phi \right)}_x$. 
  Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz auf $H_y$ anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von $y$ unter $\phi$ nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von $x\mapsto {\left(D\phi \right)}_x$ und wegen

${\left(D\phi \right)}_0=\mathrm{Id}$

gibt es ein $r\in ℝ$, $r>0$, derart, dass für alle  $x\in B(0,r)$  die Abschätzung

$\Vert {\left(D{H}_y\right)}_x\Vert =\Vert \mathrm{Id}-{\left(D\phi \right)}_x\Vert \le \frac{1}{2}$

gilt. Für jedes  $x\in B(0,r)$  gilt daher nach der Mittelwertabschätzung die Abschätzung

$\begin{array}{cc}\Vert x-\phi (x)\Vert & =\Vert H_0(x)\Vert \\ & =\Vert H_0(x)-H_0(0)\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert x\Vert .\end{array}$

Für $y\in B(0,\frac{r}{2})$ und $x\in B(0,r)$ gilt

$\begin{array}{cc}\Vert H_y(x)\Vert & =\Vert x-\phi (x)+y\Vert \\ & \le \Vert x-\phi (x)\Vert +\Vert y\Vert \\ & \le \frac{\Vert x\Vert }{2}+\frac{r}{2}\\ & \le \frac{r}{2}+\frac{r}{2}\\ & =r.\end{array}$

Für jedes  $y\in B(0,\frac{r}{2})$  liegt also eine Abbildung

$H_y:B(0,r)⟶B(0,r)$

vor.
Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt für zwei Punkte  $x_1,x_2\in B(0,r)$  die Abschätzung

$\Vert H_y(x_1)-H_y(x_2)\Vert \le \frac{1}{2}\Vert x_1-x_2\Vert ,$

sodass $H_y$ eine stark kontrahierende Abbildung ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel $B(0,r)$ vollständig sind (siehe Aufgabe und Aufgabe), besitzt jede Abbildung $H_y$ aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt aus $B(0,\frac{r}{2})$, den wir mit $\psi (y)$ bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist  $\phi (\psi (y))=y$. 
Zu  $y\in U(0,\frac{r}{2})$  gehört das eindeutige Urbild  $x\in B(0,r)$  zur offenen Kugel $U(0,r)$, wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen $U_2=U(0,\frac{r}{2})$ und $U_1={\phi }^{-1}(U_2)\cap U(0,r)$, wobei $U_1$ aufgrund der Stetigkeit von $\phi$ offen ist. Die eingeschränkte Abbildung

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2,x⟼\phi (x)$

ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung

$\psi :U_2⟶U_1,$

die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.
Wir zeigen zuerst, dass $\psi$ Lipschitz-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten $2$. Seien  $y_1,y_2\in U_2$  gegeben mit den eindeutigen Elementen  $x_1,x_2\in U_1$  mit $\phi (x_1)=y_1$ und $\phi (x_2)=y_2$. Es gelten die Abschätzungen

$\begin{array}{cc}\Vert x_2-x_1\Vert & =\Vert H_0(x_2)+\phi (x_2)-H_0(x_1)-\phi (x_1)\Vert \\ & \le \Vert H_0(x_2)-H_0(x_1)\Vert +\Vert \phi (x_2)-\phi (x_1)\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert x_2-x_1\Vert +\Vert \phi (x_2)-\phi (x_1)\Vert ,\end{array}$

wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich

$\Vert \psi (y_2)-\psi (y_1)\Vert =\Vert x_2-x_1\Vert \le 2\Vert y_2-y_1\Vert .$

Aufgrund von Fakt ist $\psi$ auch differenzierbar und es gilt die Formel

${\left(D\psi \right)}_y=({\left(D\phi \right)}_{\psi (y)}{)}^{-1}.$

Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von $y$ ablesen, da $\psi$ stetig ist, da das totale Differential von $\phi$ nach Voraussetzung stetig von  $x=\psi (y)$  abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.

Zur bewiesenen Aussage