Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt/Beweis

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Beweis

  Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass und ist. Es sei die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung . Wir betrachten die Gesamtabbildung

Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist . Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für , da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit ist, deren totales Differential in die Identität ist. Wir werden dennoch von und sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.
Sei fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung

Diese Hilfabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt ist genau dann ein Fixpunkt von , also ein Punkt mit , wenn ist, d.h. wenn ein Urbild von unter ist. Die Abbildungen sind selbst stetig differenzierbar und es gilt .
  Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz auf anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von unter nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von und wegen

gibt es ein , , derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Für jedes gilt daher nach der Mittelwertabschätzung die Abschätzung

Für und gilt

Für jedes liegt also eine Abbildung

vor.
Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt für zwei Punkte die Abschätzung

so dass eine stark kontrahierende Abbildung ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel vollständig sind (siehe Aufgabe und Aufgabe), besitzt jede Abbildung aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt aus , den wir mit bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist .
Zu gehört das eindeutige Urbild zur offenen Kugel , wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen und , wobei aufgrund der Stetigkeit von offen ist. Die eingeschränkte Abbildung

ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung

die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.
Wir zeigen zuerst, dass Lipschitz-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten . Seien gegeben mit den eindeutigen Elementen mit und . Es gelten die Abschätzungen

wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich


Aufgrund von Fakt ist auch differenzierbar und es gilt die Formel

Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von ablesen, da stetig ist, da das totale Differential von nach Voraussetzung stetig von abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.

Zur bewiesenen Aussage