Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}{\#\left(H\right)}<\operatorname {grad} _{K}L$ ist. Wir können annehmen, dass ${}L$ endlich über ${}K$ ist, da wir ${}L$ durch einen (über ${}K$ endlichen) Zwischenkörper der Form ${}K[\varphi (x_{i}),\varphi \in H,\,i=1,\ldots ,n]$ mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach Fakt ist die Körpererweiterung separabel und nach dem Satz vom primitiven Element kann man ${}L=K[x]$ schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von ${}x$ gleich dem Grad der Körpererweiterung, sodass sich ein Widerspruch zu Fakt ergibt. Also ist ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit ${}{\#\left(H\right)}\geq \operatorname {grad} _{K}L$. Nach Fakt muss hierbei Gleichheit gelten. Die Inklusion ${}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist trivial. Da ${}H$ nach Fakt

schon die maximal mögliche Anzahl von ${}K$-Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.

Zur gelösten Aufgabe