Satz von Rouché

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Der Satz von Rouché ist eine Aussage über die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen, der häufig angewandt werden kann, um Abschätzungen für Nullstellen zu gewinnen.

Aussage[Bearbeiten]

Es sei offen, es sei ein Zykel in , der nullhomolog in ist und jeden Punkt in seinem Innengebiet genau einmal umläuft, d. h. es ist für jedes . Seien weiter holomorphe Funktionen, so dass

gilt. Dann haben und in gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt).

Beweis[Bearbeiten]

Betrachte für jedes die Funktion . Wegen

hat auf keine Nullstellen. Da auf holomorph ist, folgt mit dem Nullstellen zählenden Integral, dass die Anzahl der Nullstellen von in gerade

:

ist, also stetig von abhängt. Eine stetige -wertige Funktion auf ist aber konstant, also haben und gleich viele Nullstellen in .

Anwendung[Bearbeiten]

Eine Anwendung des Satzes von Rouché ist ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Sei ein Polynom mit und , die Idee des Beweises ist es, mit zu vergleichen (von kennen wir die Anzahl der Nullstellen). Es ist

mit und ein hinreichend großes . Also haben und in gleich viele Nullstellen, nämlich .

Siehe auch[Bearbeiten]

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