Satz von Rouché

Aus Wikiversity

Der Satz von Rouché ist eine Aussage über die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen, der häufig angewandt werden kann, um Abschätzungen für Nullstellen zu gewinnen.

Aussage[Bearbeiten]

Es sei offen, es sei ein Zykel in , der nullhomolog in ist und jeden Punkt in seinem Innengebiet genau einmal umläuft, d. h. es ist für jedes . Seien weiter holomorphe Funktionen, so dass

gilt. Dann haben und in gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt).

Beweis[Bearbeiten]

Betrachte für jedes die Funktion . Wegen

hat auf keine Nullstellen. Da auf holomorph ist, folgt mit dem Nullstellen zählenden Integral, dass die Anzahl der Nullstellen von in gerade

:

ist, also stetig von abhängt. Eine stetige -wertige Funktion auf ist aber konstant, also haben und gleich viele Nullstellen in .

Anwendung[Bearbeiten]

Eine Anwendung des Satzes von Rouché ist ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Sei ein Polynom mit und , die Idee des Beweises ist es, mit zu vergleichen (von kennen wir die Anzahl der Nullstellen). Es ist

mit und ein hinreichend großes . Also haben und in gleich viele Nullstellen, nämlich .

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.