Satz von Rouché

Der Satz von Rouché ist eine Aussage über die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen, der häufig angewandt werden kann, um Abschätzungen für Nullstellen zu gewinnen.

Aussage

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen, es sei $\Gamma$ ein Zykel in $U$ , der nullhomolog in $U$ ist und jeden Punkt in seinem Innengebiet genau einmal umläuft, d. h. es ist $n(\Gamma ,z)\in \{0,1\}$ für jedes $z\in U$ . Seien weiter $f,g\colon U\to \mathbb {C}$ holomorphe Funktionen, so dass

|f(z)-g(z)|<|f(z)|,\qquad z\in \mathrm {spur} (\Gamma )

gilt. Dann haben $f$ und $g$ in $I_{\Gamma }=\{z\in \mathbb {C} :n(\Gamma ,z)=1\}$ gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt).

Beweis

Betrachte für jedes $\lambda \in [0,1]$ die Funktion $f_{\lambda }:=(1-\lambda )f+\lambda g=f+\lambda (g-f)$ . Wegen

|\lambda (g(z)-f(z))|=|\lambda ||g(z)-f(z)|<|f(z)|,\qquad z\in \mathrm {spur} (\Gamma )

hat $f_{\lambda }$ auf $\mathrm {spur} (\Gamma )$ keine Nullstellen. Da $f_{\lambda }$ auf $I_{\Gamma }$ holomorph ist, folgt mit dem Nullstellen zählenden Integral, dass die Anzahl der Nullstellen von $f_{\lambda }$ in $I_{\Gamma }$ gerade

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f_{\lambda }'(z)}{f_{\lambda }(z)}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {(1-\lambda )f'(z)+\lambda g'(z)}{(1-\lambda )f(z)+\lambda g(z)}}\,dz

:

ist, also stetig von $\lambda$ abhängt. Eine stetige $\mathbb {Z}$ -wertige Funktion auf $[0,1]$ ist aber konstant, also haben $f_{0}=f$ und $f_{1}=g$ gleich viele Nullstellen in $I_{\Gamma }$ .

Anwendung

Eine Anwendung des Satzes von Rouché ist ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Sei $p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\in \mathbb {C} [z]$ ein Polynom mit $n>0$ und $a_{n}\neq 0$ , die Idee des Beweises ist es, $p$ mit $q(z)=a_{n}z^{n}$ zu vergleichen (von $q$ kennen wir die Anzahl der Nullstellen). Es ist