Kurs:Funktionentheorie/Null- und Polstellen zählendes Integral

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt, wie der Name schon vermuten lässt, Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion mit ihrer Vielfachheit. Genauer:

Nullstelle der Ordnung n[Bearbeiten]

Sei offen, eine holomorphe Funktion und . hat in eine Nullstelle der Ordnung , wenn eine holomorphe Funktion existiert, mit:

.

Polstelle der Ordnung n[Bearbeiten]

Sei offen, eine holomorphe Funktion und . hat in eine Polstelle der Ordnung , wenn eine holomorphe Funktion existiert, mit:

.

Aufgaben[Bearbeiten]

Sei offen, eine holomorphe Funktion und . Ferner habe in eine Nullstelle der Ordnung .

Aufgabe 1: Nullstelle der Ordnung n[Bearbeiten]

Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Nullstellenordnung den Ausdruck für

Aufgabe 2: Nullstelle der Ordnung n[Bearbeiten]

Begründen Sie, warum für den Term eine Umgebung existiert in der keine Singularitäten besitzt.

Aufgabe 3: Nullstelle der Ordnung n[Bearbeiten]

Begründen Sie, warum nicht notwendigerweise auf ganz definiert sein muss.

Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n[Bearbeiten]

Was können Sie daraus für die folgende Integrale folgern:

und

Aufgabe 5: Polstelle der Ordnung n[Bearbeiten]

Übertragen Sie Berechnung und Begründungen auf Polstellen der Ordnung und berechnen Sie wieder die Integrale:

und


Aussage[Bearbeiten]

Sei offen, . Sei die Menge der Null- und die Menge der Polstellen von . Sei ein Zyklus der jede Null- und jede Polstelle von genau einmal im positiven Sinn umläuft, d. h. es ist für jedes . Wir setzen für :

Dann ist

Beweis[Bearbeiten]

Für jedes gibt es dann eine Umgebung und ein holomorphes so dass , und

gilt.

Beweis 1: Holomorphie und Anwendung Residuensatz[Bearbeiten]

Der Integrand ist überall in mit Ausnahme von möglicherweise holomorph. Nach dem Residuensatz genügt es, die Residuen von in den Punkten von zu berechnen:

Beweis 2: Residuum für Nullstellen/Polstellen[Bearbeiten]

Sei , dann erhalten wir, wenn wir differenzieren, dass

also ist für nahe bei :

mit

Beweis 3: Anwendung Residuensatz[Bearbeiten]

Der zweite Summand ist holomorph, also ist ein Pol erster Ordnung von und

Die Behauptung folgt mit dem Residuensatz.

Seiteninformation[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.