Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Beweis

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Beweis

Der Durchschnitt besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher nach Aufgabe annehmen, dass alle Schnittpunkte in liegen. Es seien und die inhomogenen Polynome aus , die die affinen Kurven und beschreiben. Damit ist

Dabei beruht die letzte Gleichung auf Fakt. Wir wollen die -Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von Fakt, dass sie für hinreichend groß gleich ist.

Wir wählen eine Basis von ( hinreichend groß und fixiert) und behaupten, dass die Dehomogenisierungen eine Basis von bilden. Dazu sei beliebig vorgegeben mit Homogenisierung vom Grad . Sei so gewählt, dass ist. Aufgrund von Fakt sind die Abbildungen ()

injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die , , eine Basis von . Es gibt dann also eine Darstellung . Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für .

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

angenommen, so dass in eine Gleichung

vorliegt. Dabei setzen wir als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke - nämlich und - vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von können wir annehmen, dass und (homogen sind und) den gleichen Grad besitzen. Nach Aufgabe ist dann bereits

Diese Gleichung bedeutet in , woraus sich ergibt.

Zur bewiesenen Aussage