Der Durchschnitt
besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher
nach Aufgabe
annehmen, dass alle Schnittpunkte in
liegen. Es seien
und
die inhomogenen Polynome aus
, die die affinen Kurven
und
beschreiben. Damit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}(F,G)&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}({\tilde {F}},{\tilde {G}})\\&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}\\&=\dim _{K}{\left(K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a46a36bb88dfe22a8afc63fb4532ffa99406bc3)
Dabei beruht die letzte Gleichung auf
Fakt.
Wir wollen die
-Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings
in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von
Fakt,
dass sie für
hinreichend groß gleich
ist.
Wir wählen eine
Basis
von
(
hinreichend groß und fixiert)
und behaupten, dass die Dehomogenisierungen
eine Basis von
bilden. Dazu sei
beliebig vorgegeben mit Homogenisierung
vom Grad
. Es sei
so gewählt, dass
ist. Aufgrund von
Fakt
sind die Abbildungen
(
)
-
injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die
,
,
eine Basis von
. Es gibt dann also eine Darstellung
.
Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für
.
Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit
sei
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffdd524c9a29efd3f01f5358f2f069407869a32)
angenommen, so dass in
eine Gleichung
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}={\tilde {A}}{\tilde {F}}+{\tilde {B}}{\tilde {G}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6b89f7aad4ddbf043b2125319ae995582490a3)
vorliegt. Dabei setzen wir
als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen
an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke
- nämlich
und
-
vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von
können wir annehmen, dass
und
(homogen sind und)
den gleichen Grad besitzen. Nach
Aufgabe
ist dann bereits
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=Z^{s}AF+Z^{t}BG\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b965b77d405dc5da021482965f16c5af541adb)
Diese Gleichung bedeutet
in
, woraus sich
ergibt.