Sinus und Kosinus/Reell/Stetig/Additionstheoreme/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen Fakt  (3) genügt es, die Aussage für den Sinus zu zeigen. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit des Sinus im Nullpunkt. Nach Aufgabe ist

${}\vert {\sin x}\vert \leq \vert {x}\vert \,.$

Daraus folgt direkt die Stetigkeit im Nullpunkt. Aufgrund von Fakt  (1) folgt daraus auch die Stetigkeit des Kosinus im Nullpunkt. Zum Nachweis der Stetigkeit des Sinus in einem beliebigen Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ verwenden wir das Folgenkriterium. Es sei also ${}x_{n}$ eine gegen ${}x$ konvergente Folge, die wir als

${}x_{n}=x+z_{n}\,$

mit einer Nullfolge ${}z_{n}$ schreiben. Aufgrund des Additionstheorems für den Sinus gilt

${}\sin \left(x+z_{n}\right)=\sin x\cdot \cos z_{n}+\cos x\cdot \sin z_{n}\,.$

Aufgrund der Vorüberlegung und den Rechenregeln für konvergente Folgen konvergiert dieser Ausdruck gegen ${}\sin x$.

Zur bewiesenen Aussage