Sinus und Kosinus/Reell/Stetig/Additionstheoreme/Fakt/Beweis

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Beweis

Wegen Fakt  (3) genügt es, die Aussage für den Sinus zu zeigen. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit des Sinus im Nullpunkt. Nach Aufgabe ist

Daraus folgt direkt die Stetigkeit im Nullpunkt. Aufgrund von Fakt  (1) folgt daraus auch die Stetigkeit des Kosinus im Nullpunkt. Zum Nachweis der Stetigkeit des Sinus in einem beliebigen Punkt verwenden wir das Folgenkriterium. Es sei also eine gegen konvergente Folge, die wir als

mit einer Nullfolge schreiben. Aufgrund des Additionstheorems für den Sinus gilt

Aufgrund der Vorüberlegung und den Rechenregeln für konvergente Folgen konvergiert dieser Ausdruck gegen .

Zur bewiesenen Aussage