Spezielle unitäre Gruppe/Realisierung/Dimension 2/Textabschnitt

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In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der sind die (erzeugenden) Matrizen von der Form

d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das Standardskalarprodukt auf dem ist durch

definiert. Eine lineare Abbildung heißt unitär, wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also

für alle gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen.


Definition  

Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.


Definition  

Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen mit Determinante bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Das einzige Element aus der Ordnung ist .

Beweis  

Sei

mit , und mit . Das bedeutet

Wir nehmen zunächst an. Daraus folgt , also ist der Realteil von gleich . Daher ist imaginär und sein Quadrat ist negativ. Dann ist aber auch negativ und nicht gleich . Also ist . Dann ist und somit ist .