Stetige Funktion/Stückweise stetig differenzierbar/Fourierentwicklung/Gleichmäßige Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}2\pi$ die Periodenlänge. Die stückweise existierende Ableitung von ${}f$ ist stückweise stetig und ebenfalls periodisch, daher gibt es eine Fourierentwicklung

${}f'=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}e^{{\mathrm {i} }nt}\,.$

Dabei ist

${}{\begin{aligned}d_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f'(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}dt\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(f(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}|_{0}^{2\pi }+{\mathrm {i} }n\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}\right)}\\&={\mathrm {i} }nc_{n}.\end{aligned}}$

Es ist

${}\sum _{n\neq 0}\vert {c_{n}}\vert =\sum _{n\neq 0}{\frac {\vert {d_{n}}\vert }{\vert {n}\vert }}\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n\neq 0}{\left(\vert {d_{n}}\vert ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}\right)}\,,$

wobei die Abschätzung rechts summandenweise auf ${}{\left(\vert {d_{n}}\vert -{\frac {1}{n}}\right)}^{2}\geq 0$ beruht. Nach der Besselschen Abschätzung sind die Betragsquadrate ${}\vert {d_{n}}\vert ^{2}$ summierbar und nach Beispiel sind die Quadrate der Stammbrüche summierbar und somit sind die Beträge der Fourierkoeffizienten zu ${}f$ summierbar. Da die Beträge der Exponentialfunktionen ${}e^{{\mathrm {i} }nt}$ auf ${}[0,2\pi ]$ durch ${}1$ beschränkt sind, ergibt sich die gleichmäßige Konvergenz aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage