Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt/Beweis

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Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir für jede konvergente Folge in mit dem Grenzwert zeigen, dass die Folge der Integrale

gegen

konvergiert. Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert.  Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ein und ein gibt mit . So können wir eine Teilfolge mit zugehörigen Punkten konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in eine konvergente Teilfolge, und durch Umbennen können wir annehmen, dass die Folge konvergiert, sagen wir gegen . Wegen der Stetigkeit von und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzungen und gelten. Damit ist

 ein Widerspruch.
Zur bewiesenen Aussage