Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}X$ mit dem Grenzwert ${}x$ zeigen, dass die Folge der Integrale

$\int _{a}^{b}f(x_{n},t)\,dt$

gegen

$\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$

konvergiert. Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge ${}f(x_{n},-)$ gleichmäßig gegen ${}f(x,-)$ konvergiert.  Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ ein ${}m\geq n$ und ein ${}t_{m}\in [a,b]$ mit ${}\vert {f(x_{m},t_{m})-f(x,t_{m})}\vert \geq \epsilon$ gibt. So können wir eine Teilfolge ${}(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ mit zugehörigen Punkten ${}t_{n_{k}}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in ${}[a,b]$ eine konvergente Teilfolge, und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge ${}(t_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert, sagen wir gegen ${}t\in [a,b]$. Wegen der Stetigkeit von ${}f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein ${}k_{0}$ derart, dass für alle ${}k\geq k_{0}$ die Abschätzungen ${}\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$ und ${}\vert {f(x,t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$ gelten. Damit ist

${}{\begin{aligned}\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t_{n_{k}})}\vert &\leq \vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert +\vert {f(x,t)-f(x,t_{n_{k}})}\vert \\&\leq {\frac {2\epsilon }{3}}\\&<\epsilon ,\end{aligned}}$

${}$ ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage