Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir für jede konvergente Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ in $X$ mit dem Grenzwert $x$ zeigen, dass die Folge der Integrale

\int_{a}^{b} f (x_{n}, t) d t

gegen

\int_{a}^{b} f (x, t) d t

konvergiert. Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge $f (x_{n}, -)$ gleichmäßig gegen $f (x, -)$ konvergiert. Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein $ϵ > 0$ mit der Eigenschaft, dass es zu jedem $n \in ℕ$ ein $m \geq n$ und ein $t_{m} \in [a, b]$ mit $| f (x_{m}, t_{m}) - f (x, t_{m}) | \geq ϵ$ gibt. So können wir eine Teilfolge $(x_{n_{k}})_{k \in ℕ}$ mit zugehörigen Punkten $t_{n_{k}}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in $[a, b]$ eine konvergente Teilfolge, und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge $(t_{n_{k}})_{k \in ℕ}$ konvergiert, sagen wir gegen $t \in [a, b]$ . Wegen der Stetigkeit von $f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein $k_{0}$ derart, dass für alle $k \geq k_{0}$ die Abschätzungen $| f (x_{n_{k}}, t_{n_{k}}) - f (x, t) | \leq \frac{1}{3} ϵ$ und $| f (x, t_{n_{k}}) - f (x, t) | \leq \frac{1}{3} ϵ$ gelten. Damit ist

\begin{matrix} | f (x_{n_{k}}, t_{n_{k}}) - f (x, t_{n_{k}}) | & \leq | f (x_{n_{k}}, t_{n_{k}}) - f (x, t) | + | f (x, t) - f (x, t_{n_{k}}) | \\ \leq \frac{2 ϵ}{3} \\ < ϵ, \end{matrix}

ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage