Stochastische Matrix/Determinante/Verhalten/Aufgabe/Lösung

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  1. Nach Fakt ist eine spaltenstochastische Matrix stabil, d.h. die Folge , , ist beschränkt. Ferner ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen abgeschlossen im Raum aller Matrizen, da die Summenbedingung und die Bedingung, dass alle Einträge sind, durch stetige Funktionen ausgedrückt werden können. Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen kompakt. Die Determinante ist als Polynomfunktion ebenfalls stetig und dies gilt auch für den Betrag. Daher ist die Menge

    Fakt ebenfalls kompakt und beschränkt. Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist

    und

    Somit kann diese Folge nur bei

    beschränkt sein.

  2. Die Matrix ist spaltenstochastisch und der Betrag ihrer Determinante ist .
  3. Nach Fakt konvergiert unter der gegebenen Voraussetzung für jede Startverteilung die Folge , , gegen die eindeutig bestimmte Eigenverteilung . Dies gilt insbesondere für die Standardverteilungen . Da die -te Spalte der Matrix ist, konvergiert gegen diejenige Matrix, nennen wir sie , deren sämtliche Spalten gleich der Eigenverteilung sind. Wegen der Stetigkeit der Determinante konvergiert die Folge , , gegen die Determinante dieser Grenzmatrix . Wegen , der Spaltengleichheit und Fakt ist die Determinante von gleich , daher sind die Werte ausgeschlossen und es ist
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