Symmetrische Matrix/R/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Wir fassen die Matrix ${}M$ als Gramsche Matrix zu einer symmetrischen Bilinearform auf. Nach Aufgabe ist

${}n=p+q+a\,,$

wobei ${}(p,q)$ der Typ der Bilinearform und ${}a$ die Dimension des Ausartungsraumes sei. Nach Aufgabe ist der Ausartungsraum der Eigenraum zu ${}M$ (aufgefasst als lineare Abbildung auf ${}\mathbb {R} ^{n}$) zum Eigenwert ${}0$ und nach Fakt ist ${}p$ (bzw. ${}q$) die Summe der Eigenraumdimensionen zu positiven (bzw. negativen) Eigenwerten. Also ist ${}\mathbb {R} ^{n}$ die Summe von Eigenräumen und damit diagonalisierbar.

Zur bewiesenen Aussage