Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen und GgT/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine ganze Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



Lemma

In gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. Für jede ganze Zahl gilt und .
  2. Für jede ganze Zahl gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jede ganze Zahl .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige ganze Zahlen .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Definition  

Seien ganze Zahlen. Dann heißt eine ganze Zahl gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt ().

Eine ganze Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler dieses teilt.

Die Elemente heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler ist.



Lemma  

Es seien ganze Zahlen und die davon erzeugte Untergruppe.

Eine ganze Zahl ist ein gemeinsamer Teiler der genau dann, wenn ist, und ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn ist.

Beweis  

Aus folgt sofort für jedes , was gerade bedeutet, dass diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt ein gemeinsamer Teiler. Dann ist und da die kleinste Untergruppe ist, die alle enthält, muss gelten.

Aufgrund von Fakt wissen wir, dass es eine ganze Zahl gibt mit . Für einen anderen gemeinsamen Teiler der gilt , so dass von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.




Satz  

Jede Menge von ganzen Zahlen

besitzt einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt ganze Zahlen mit

Insbesondere gibt es zu teilerfremden ganzen Zahlen eine Darstellung der .

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.


Man beachte, dass ein größter gemeinsamer Teiler, der nach dem Lemma von Bézout existiert, nicht eindeutig bestimmt ist. Denn ebenso ist mit auch das Negative ein größter gemeinsamer Teiler. Häufig wählt man den Vertreter , um Eindeutigkeit zu erreichen.