Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ein -Erzeugendensystem von sind und

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den -Vektorraum aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die bilden eine Basis von , daher legt die Vorschrift

eine lineare Abbildung

fest. Wegen der Multilinearität von wird der Untervektorraum auf abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz eine -lineare Abbildung

Zur bewiesenen Aussage