Topologie/Überlagerungen/Wege-Liftung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Punkt $x \in γ (I)$ gibt es eine offene Umgebung $x \in U_{x}$ derart, dass $p$ oberhalb von $U_{x}$ trivialisiert, d.h. $p^{- 1} (U_{x})$ ist die disjunkte Vereinigung von zu $U_{x}$ über $p$ homöomorphen offenen Teilmengen von $E$ . Aufgrund der Kompaktheit von $γ (I)$ gibt es somit endlich viele offene Mengen $U_{1}, \dots, U_{n}$ mit dieser Eigenschaft und mit $γ (0) \in U_{1}$ , mit $U_{i} \cap U_{i + 1} \cap γ (I) \neq \emptyset$ für alle $i$ (da $γ (I)$ zusammenhängend ist) und mit $γ (1) \in U_{n}$ . Es sei $x_{i} = γ (t_{i}) \in U_{i} \cap U_{i + 1}$ mit aufsteigenden Zeitpunkten $t_{i}$ . Es sei $V_{1}$ diejenige zu $U_{1}$ homöomorphe Teilmenge von $E$ , die $z$ enthält. Dann gibt es für den auf $[0, t_{1}]$ eingeschränkten Weg nur die Liftung $p |_{V_{i}}^{- 1} \circ γ |_{[0, t_{1}]}$ . Dieser Weg hat für $t_{1}$ einen eindeutigen Endpunkt in $E$ , sagen wir

z_{1} = \tilde{γ} (t_{1}) .

Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge $V_{2} \subseteq E$

homöomorph zu

U_{2}

und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten

\tilde{γ}

nach

[t_{1}, t_{2}]

. So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.

Zur gelösten Aufgabe