Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Definition

Auswertung eines Kozykels längs eines Weges

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei  $z\in {\check{Z}}^1(X,𝕂)$  ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  mit $U_i$ zusammenhängend repräsentiert sei. Zu einem stetigen Weg

$\gamma :[0,1]⟶X$

definiert man die Auswertung des Kozykels längs des Weges in folgender Weise. Man wählt eine topologische Kette $V_1,\dots ,V_n$ aus der Überdeckung mit  $\gamma (0)\in V_1$  und  $\gamma (1)\in V_n$  und Punkte  $P_k\in V_k\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$  und setzt

${\int }_{\gamma }z:=\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k+1),\alpha (k)}(P_k).$