Topologischer Raum/Einfach zusammenhängend/Kontrahierbar/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in ${}X$ nullhomotop ist.

Der einfache Zusammenhang bedeutet also, dass ${}\pi _{1}(X,x)=0$ ist (für einen beliebigen Aufpunkt ${}x\in X$).

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt ${}P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$

derart gibt, dass die Eigenschaften

1. ${}H(-,0)=\operatorname {Id} _{X}$,
2. ${}H(-,1)=P$,
3. ${}H(P,t)=P$ für alle ${}t\in [0,1]$

gelten.

Beispielsweise ist der ${}\mathbb {R} ^{n}$ und jede sternförmige Menge im ${}\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar und nach dem folgenden Satz auch einfach zusammenhängend.

Lemma

Eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

ist kontrahierbar.

Beweis

Es sei ${}T$ sternförmig bezüglich des Punktes ${}P\in T$. Dann ist

$H\colon T\times [0,1]\longrightarrow T,\,(x,t)\longmapsto (1-t)x+tP$

eine Kontraktion von ${}T$ auf den Punkt ${}P$.

$\Box$

Satz

Die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes

ist trivial.

Beweis

Es sei

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$

die Kontraktion des topologischen Raumes ${}X$ auf den Punkt ${}P\in X$ und es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg in ${}X$ mit Aufpunkt ${}P$. Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung ${}\Psi$

$[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und dem konstanten Weg ${}P$ ergibt. Dies folgt aus

${}\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)=P\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$ und

${}\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$. Dies bedeutet, dass ${}\gamma$ nullhomotop ist.

$\Box$

Ein kontrahierbarer Raum ist also einfach zusammenhängend.