Topologischer Raum/Garben/Erste Cech-Kohomologie/Funktor und verbindender Homomorphismus/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus zwischen den Garben von kommutativen Gruppen ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einer offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}}).$

2. Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}}).$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$.

Dann liegt eine lange exakte Sequenz

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {H}})$

vor.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$