Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Direkt/Definition

Einer Überdeckung untergeordnete Partition der Eins

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung von ${}X$. Eine Familie von Funktionen

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle ${}j\in J$.
2. Jeder Punkt ${}P\in X$ besitzt eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
3. Es ist ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$.
4. Für jedes ${}j\in J$ gibt es eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.

Wenn alle ${}h_{j}$

stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.