Topologischer Raum/Produktraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von topologischen Räumen. Unter dem Produktraum versteht man die Produktmenge ${}\prod _{i\in I}X_{i}$, versehen mit der Produkttopologie, bei der beliebige Vereinigungen von Mengen der Form ${}\prod _{i\in I}U_{i}$ mit ${}U_{i}\subseteq X_{i}$ offen für alle ${}i\in I$ und ${}U_{i}=X_{i}$ bis auf endlich viele Ausnahmen als offen erklärt werden.

Lemma

Es sei ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Familie von metrischen Räumen.

Dann ist der Produktraum ${}\prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$ ein metrischer Raum.

Beweis

Wir können davon ausgehen, dass sämtliche Metriken ${}d_{n}$ auf ${}M_{n}$ durch ${}1$ beschränkt sind. Wir betrachten auf dem Produkt die Metrik ${}d(x_{n},y_{n})=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})$. Diese Summe ist wegen der Konvergenz der geometrischen Reihe wohldefiniert. Die Eigenschaften Symmetrie, Definitheit und Dreiecksabschätzung sind klar.

Es sei ${}U$ eine offene Menge des Produktraumes. Dann ist ${}U$ eine Vereinigung von Mengen der Form ${}\prod _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$ mit ${}U_{n}\subseteq M_{n}$ offen und ${}U_{n}=M_{n}$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Es ist zu zeigen, dass eine solche Menge auch offen in der metrischen Topologie ist. Sei dazu ${}P=(x_{n})\in U$. Es sei ${}U_{n}=M_{n}$ für ${}n>k$ und seien ${}\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{k}$ derart, dass ${}x_{i}\in U{\left(x_{i},\epsilon _{i}\right)}\subseteq U_{i}$ für ${}i\leq k$ gilt. Wir setzen

${}\epsilon :=\operatorname {min} \left({\frac {\epsilon _{i}}{2^{i}}}{|}i=0,\ldots ,k\right)\,.$

Dann ist ${}U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq U$. Zu ${}Q=(y_{n})\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ folgt aus

${}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})<\epsilon \,$

direkt

${}{\frac {1}{2^{i}}}d_{i}(x_{i},y_{i})<\epsilon \,$

und daher

${}d_{i}(x_{i},y_{i})<2^{i}\epsilon \leq \epsilon _{i}\,.$

Es sei nun umgekehrt ein offener Ball ${}U{\left(P,\epsilon \right)}$ in der Produktmenge gegeben. Es genügt zu zeigen, dass ${}P=(x_{n})$ in einer Basisproduktmenge innerhalb von ${}U{\left(P,\epsilon \right)}$ liegt. Es sei ${}k$ derart, dass

${}\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

ist. Wir wählen positive ${}\epsilon _{0},\ldots ,\epsilon _{k}$ mit

${}\sum _{i=0}^{k}{\frac {\epsilon _{i}}{2^{n}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$

Dann ist

${}U{\left(x_{0},\epsilon _{0}\right)}\times \cdots \times U{\left(x_{k},\epsilon _{k}\right)}\times M_{k+1}\times \cdots \times \subseteq U{\left(P,\epsilon \right)}\,.$

Für einen Punkt

${}Q=(y_{n})\,,$

der links enthalten ist, ist ja

${}{\begin{aligned}d(P,Q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})\\&=\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})+\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})\\&<\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{2^{n}}}\epsilon _{n}+\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$