Totale Differenzierbarkeit/K/Äquivalenz mit Limes/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume,  $G\subseteq V$  eine offene Menge, $\phi :G\to W$ eine Abbildung und $L:V\to W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. $\phi$ ist differenzierbar in $P$ mit dem totalen Differential $L$.
2. Der Limes

   ${\lim }_{v\to 0,v\ne 0}\frac{\phi (P+v)-\phi (P)-L(v)}{\Vert v\Vert }$

   existiert und ist gleich $0$.

3. Der Limes

   ${\lim }_{v\to 0,v\ne 0}\frac{\Vert \phi (P+v)-\phi (P)-L(v)\Vert }{\Vert v\Vert }$

   existiert und ist gleich $0$.

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