Trigonometrische Funktionen/R/Direkt/Eigenschaften/Textabschnitt

Wir besprechen die wichtigsten Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.

Satz

Die Funktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\alpha \longmapsto \cos \alpha ,$

und

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\alpha \longmapsto \sin \alpha ,$

besitzen für ${}\alpha \in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.

1. Es gilt

   ${}(\cos \alpha )^{2}+(\sin \alpha )^{2}=1\,$

   für alle ${}\alpha \in \mathbb {R}$.

2. Es ist

   ${}-1\leq \cos \alpha ,\sin \alpha \leq 1\,.$

3. Es ist ${}\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha$ und ${}\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha$.

Beweis

1. Die erste Eigenschaft ist klar, da

   ${}P(\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )\,$

   nach Definition ein Punkt auf dem Einheitskreis ist.

2. Folgt aus (1).
3. Ein negativer Winkel ist so zu verstehen, dass man vom Punkt ${}(1,0)$ aus startend mit dem Uhrzeigersinn entlang des Kreisbogens läuft. Somit ergibt sich die (Kreisbogen)-Bewegung zu ${}-\alpha$, wenn man die Bewegung zu ${}\alpha$ an der ${}x$-Achse spiegelt. Da der Kosinus die ${}x$-Koordinate von ${}P(\alpha )$ ist, ändert er sich nicht bei Spiegelung an der ${}x$-Achse, und da der Sinus die ${}y$-Koordinate von ${}P(\alpha )$ ist, wird daraus bei dieser Spiegelung das Negative.

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Der Graph des Sinus. Der qualitative Verlauf ist von der naiven Definition her klar. Mit der unten folgenden analytischen Definition über Reihen kann man die Funktionswerte beliebig genau ausrechnen.

Satz

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.

1. Es ist ${}\cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \alpha$ und ${}\sin \left(\alpha +2\pi \right)=\sin \alpha$ für alle ${}\alpha \in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}\cos \left(\alpha +\pi \right)=-\cos \alpha$ und ${}\sin \left(\alpha +\pi \right)=-\sin \alpha$ für alle ${}\alpha \in \mathbb {R}$.
3. Es ist ${}\cos \left(\alpha +\pi /2\right)=-\sin \alpha$ und ${}\sin \left(\alpha +\pi /2\right)=\cos \alpha$ für alle ${}\alpha \in \mathbb {R}$.
4. Es ist ${}\cos 0=1$, ${}\cos \pi /2=0$, ${}\cos \pi =-1$, ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$.
5. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$.

Beweis

1. Die ersten Eigenschaften folgen unmittelbar aus

   ${}P(\alpha +2\pi )=P(\alpha )\,,$

   da ${}2\pi$ nach Definition von ${}\pi$ eine Volldrehung beschreibt.

2. Wenn man zu einem Winkel den Winkel ${}\pi$ hinzuaddiert, so bedeutet dies, eine Halbdrehung um den Nullpunkt bzw. eine Punktspiegelung am Nullpunkt durchzuführen. Dabei werden die Koordinaten von ${}P(\alpha )$ in ihr Negatives umgewandelt.
3. Eine Winkeladdition von ${}\pi /2$ bedeutet eine Vierteldrehung von ${}P(\alpha )$ gegen den Uhrzeigersinn. Wegen der schon gezeigten Aussagen genügt es, diese Aussage für Winkel zwischen ${}0$ und ${}\pi /2$ zu zeigen. Die trigonometrischen Dreiecke zu ${}\alpha$ und zu ${}\alpha +\pi /2$ sind kongruent, und zwar ist der am Nullpunkt anliegende Winkel des zweiten Dreiecks gleich ${}\pi /2-\alpha$. Somit ist die Ankathete des zweiten Dreiecks, die auf der negativen ${}x$-Achse liegt, gleich der Gegenkathete des ersten Dreiecks.
4. Dies sind einfach die Koordinaten nach einer Viertel-, Halb- und Dreivierteldrehung.
5. Ebenso.

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Satz

Die reelle Sinusfunktion

induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$

Beweis

Für ${}\alpha$ zwischen ${}-\pi /2$ und ${}\pi /2$ liegt ${}P(\alpha )$ auf der rechten Kreishälfte. Diese Punkte stehen in Bijektion zu diesen Winkeln und in Bijektion zum Wert der (senkrechten) Projektion auf die ${}y$-Achse, also zum Sinus von ${}\alpha$.

$\Box$