Umkehrsatz/(x,y) nach (x^2-y,x+xy)/Umkehrbarkeit um Null/Beispiel

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Wir betrachten die Abbildung

Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt ist

Die Determinante davon ist

so dass die Bedingung

die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, so dass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen und von derart, dass die eingeschränkte Abbildung

bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).

Wie groß kann dabei gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen . Bei enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Art

Diese werden unter auf

abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.

Betrachten wir hingegen

und

Da keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe das Bild offen. Die eingeschränkte Abbildung ist nach Definition von surjektiv, so dass nur die Injektivität zu untersuchen ist.

Das Gleichungssystem

führt auf

und auf

Seien und aus mit

gegeben. Dann ist

und somit

Bei folgt direkt . Bei muss

sein. Dies bedeutet und ebenso . Wegen

und müssen und das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch und das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber

so dass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann.