Umkehrsatz/(x,y) nach (x^2-y,x+xy)/Umkehrbarkeit um Null/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y,x+xy).$

Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt ${}P=(x,y)$ ist

${\begin{pmatrix}2x&-1\\1+y&x\end{pmatrix}}.$

Die Determinante davon ist

$2x^{2}+1+y,$

sodass die Bedingung

${}y\neq -2x^{2}-1\,$

die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt ${}(0,0)$ liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, sodass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ von ${}(0,0)$ derart, dass die eingeschränkte Abbildung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).

Wie groß kann dabei ${}U_{1}$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen ${}U{\left((0,0),r\right)}$. Bei ${}r>1$ enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form

$(\pm x,-1).$

Diese werden unter ${}\varphi$ auf

${}\varphi (\pm x,-1)=\left(x^{2}-(-1),\,x+x(-1)\right)=\left(x^{2}+1,\,0\right)\,$

abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.

Betrachten wir hingegen

${}U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}\,$

und

${}U_{2}:=\varphi (U_{1})\,$

Da ${}U_{1}$ keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe das Bild ${}U_{2}$ offen. Die eingeschränkte Abbildung ${}\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ ist nach Definition von ${}U_{2}$ surjektiv, sodass nur die Injektivität zu untersuchen ist.

Das Gleichungssystem

$x^{2}-y=u\,\,{\text{ und }}\,\,x+xy=v$

führt auf

${}y=x^{2}-u\,$

und auf

${}x(1+x^{2}-u)=x^{3}+(1-u)x=v\,.$

Seien ${}(x,y)$ und ${}({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ aus ${}U{\left((0,0),1\right)}$ mit

${}\varphi (x,y)=\varphi ({\tilde {x}},{\tilde {y}})\,$

gegeben. Dann ist

${}x^{3}+(1-u)x=v={\tilde {x}}^{3}+(1-u){\tilde {x}}\,$

und somit

${}0=x^{3}-{\tilde {x}}^{3}+(1-u)(x-{\tilde {x}})=(x-{\tilde {x}}){\left(x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u\right)}\,.$

Bei ${}x={\tilde {x}}$ folgt direkt ${}y={\tilde {y}}$. Bei ${}x\neq {\tilde {x}}$ muss

${}x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u=0\,$

sein. Dies bedeutet ${}y=x^{2}-u=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1$ und ebenso ${}{\tilde {y}}=-x{\tilde {x}}-x^{2}-1$. Wegen

${}x(y+1)=v\,$

und ${}y+1>0$ müssen ${}x$ und ${}v$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch ${}x$ und ${}{\tilde {x}}$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber

${}y=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1\leq -1\,,$

sodass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius ${}1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann. Mit ${}U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}$ liegt also eine Bijektion ${}U_{1}\rightarrow U_{2}$ vor.