Kurs:Stochastik/Varianz

Varianz

Der Erwartungswert $E(X)$ dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung $P_{X}$ von $X$ . Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung $P_{X}$ .

Definition - Varianz, Standardabweichung

Ist $X:\Omega \to \mathbb {R}$ Zufallsvariable auf $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ und ist $E(X^{2})<\infty$ , so heißt $Var(X)=E(X-E(X))^{2}=E((X-E(X))^{2})$ Varianz von $X$ , und $\sigma (X)={\sqrt {Var(X)}}$ Standardabweichung von $X$ . Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i).

Satz

i) Falls $E(X^{2})<\infty$ , so auch $E(X)<\infty ,E(X-a)^{2}<\infty$ , für alle $a\in \mathbb {R}$ .

ii) Es gilt $E(X^{2})=0$ und $Var(X)=0$ genau dann, wenn $X=0$ und $X=const.$ , $P$ fast überall.

Beweis zu (i) - Teil 1

Wegen $|x|<1+x^{2}$ gilt

\sum _{X}|x|P_{X}(\lbrace x\rbrace )\leq 1+\sum _{X}x^{2}P_{X}(\lbrace x\rbrace )<\infty .

Beweis zu (i) - Teil 2

Um die folgende Ungleichung zu zeigen, verwendet

(x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}\leq 2x^{2}+2a^{2}

kann man äquivalent dazu zeigen, dass

-2ax\leq x^{2}+a^{2}

gilt.

Beweis zu (i) - Teil 3

Die obige Aussage erhält man unimittelbar aus

0\leq (x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}

Damit gilt $-2ax\leq x^{2}+a^{2}$ und mit Addition von $x^{2}$ und $a^{2}$ gilt die Ungleichung $(x-a)^{2}\leq 2x^{2}+2a^{2}$ .

Beweis zu (i) - Teil 4

Wegen $(x-a)^{2}\leq 2x^{2}+2a^{2}$ gilt

\sum _{X}(x-a)^{2}P_{X}(\lbrace x\rbrace )\leq 2\sum _{X}x^{2}P_{X}(\lbrace x\rbrace )+2a^{2}<\infty .

Beweis zu (ii)

Die Darstellung $E(X^{2})=\sum _{w}X^{2}(w)\cdot p_{w}=0$ , bzw. Formel 2 zur Varianz.

Aufgaben

Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
Betrachten Sie die Cauchy-Verteilung und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert.

Formeln zur Varianz von X

$Var(X)=\sum _{x\in X(\Omega )}((x-E(X))^{2})P_{x}(\lbrace x\rbrace )$
$Var(X)=\sum _{w\in \Omega }((X(w)-E(X))^{2})\cdot p_{w}$
$Var(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}$

denn:

Var(X)=E(X^{2}-2\cdot X\cdot E(X)+E(X)^{2})=E(X^{2})-E(X)^{2}

(allgemein:

E(X-a)^{2}=Var(X)+(E(X)-a)^{2},a=0

liefert die untere Gleichung.)

Var(aX+b)=a^{2}Var(X)

für

a,b\in P,\sigma (aX+b)=(a(\sigma (X)))

Bemerkung

Denkt man sich $P_{X}\lbrace X\rbrace$ als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht $E(X)$ dem Schwerpunkt und $Var(X)$ dem Trägheitsmoment.
Ist $X$ eine Zufallsvariable mit $E(X^{2})<\infty$ , so gilt für die sogenannte Standardisierte von $X$ , d.i. $X^{*}={\frac {X-E(X)}{\sigma (X)}}$ , $E(X^{*})=0,Var(X^{*})=1=\sigma (X^{*})$ .