Vektorraum/Erzeugendensystem/Einführung/Textabschnitt

Die von zwei Vektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ erzeugte Ebene besteht aus allen Linearkombinationen ${}u=sv_{1}+tv_{2}$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann heißt der Vektor

$s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$).

Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als

${}v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,$

mit einer endlichen Teilfamilie ${}J\subseteq I$ und mit ${}s_{j}\in K$ darstellen kann.

Im ${}K^{n}$ bilden die Standardvektoren ${}e_{i}$, ${}1\leq i\leq n$, ein Erzeugendensystem. Im Polynomring ${}K[X]$ bilden die Potenzen ${}X^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ein (unendliches) Erzeugendensystem.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, setzt man

$\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum. Dieser wird ebenso von der ${}0$ erzeugt. Zu einem einzigen Vektor ${}v$ besteht der aufgespannte Raum aus ${}Kv={\left\{sv\mid s\in K\right\}}$. Bei ${}v\neq 0$ ist dies eine Gerade, was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren ${}v$ und ${}w$ hängt die „Gestalt“ des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn ${}w=sv$ gilt, so ist ${}w$ überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Unterraum stimmt mit dem von ${}v$ erzeugten Unterraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist (und ${}v$ und ${}w$ nicht ${}0$ sind), so erzeugen die beiden Vektoren eine „Ebene“.

Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}U_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen. Dann ist auch der Durchschnitt

   ${}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$

   ein Untervektorraum.

2. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Elementen in ${}V$ ist der erzeugte Untervektorraum ein Untervektorraum von ${}V$.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn

   ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,$

   ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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