Vektorraum/Körperwechsel/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Multiplikation

$L\times L\longrightarrow L,\,(r,s)\longmapsto rs,$

ist ${}L$-bilinear und insbesondere ${}K$-bilinear und führt nach Fakt zu einer ${}K$-linearen Abbildung

$L\otimes _{K}L\longrightarrow L.$

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt eine ${}K$-lineare Abbildung

$L\otimes _{K}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\cong {\left(L\otimes _{K}L\right)}\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}V.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$L\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow {\left(L\otimes _{K}V\right)},$

die explizit durch

${}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die ${}K$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ${}L=K$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation ${}K\times V\rightarrow V$ induziert eine ${}K$-lineare Abbildung

$K\otimes _{K}V\longrightarrow V.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung ${}V\rightarrow K\otimes _{K}V$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf ${}V$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt.
(5) folgt aus (4).
(6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine ${}K$-lineare Abbildung ${}V\rightarrow L\otimes _{K}V$. Dies führt zu einer ${}K$-multilinearen Abbildung

$M\times V\longrightarrow M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)},$

die eine ${}K$-lineare Abbildung

$M\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}$

induziert. Andererseits haben wir eine ${}L$-lineare Abbildung

$L\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{K}V.$

Rechts steht ein ${}M$-Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine ${}L$-multilineare Abbildung

$M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$

auffassen, die ihrerseits zu einer ${}L$-linearen Abbildung

$M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die ${}M$-Multiplikationen entsprechen.

Zur bewiesenen Aussage