Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normen äquivalent/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt. Die Norm und die Topologie hängen nur von dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ab, wir können also

{}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} \,

annehmen. Zu einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gibt es einen Isomorphismus

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V

mit ${}e_{i}\mapsto v_{i}$ . Da unter dem Isomorphismus ${}\varphi$ durch

{}\Vert {u}\Vert ':=\Vert {\varphi (u)}\Vert \,

eine Norm auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ definiert wird, können wir direkt ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ annehmen. Wir vergleichen nun eine beliebige Norm auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit der Maximumsnorm bzw. der euklidischen Norm, von denen wir nach Beispiel schon wissen, dass sie untereinander äquivalent sind. Es sei ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}$ . Wegen

{}{\begin{aligned}\Vert {v}\Vert &=\Vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}}\Vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {a_{i}e_{i}}\Vert \\&=\sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {e_{i}}\Vert \\&\leq n\cdot {\max {\left(\Vert {e_{i}}\Vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\end{aligned}}

sind hinreichend kleine ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$ -offene Bälle in ${}\Vert {-}\Vert$ -offenen Bällen enthalten. Die Topologie zur Maximumsnorm ist also mindestens so fein wie die Topologie zu jeder anderen Norm. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Identität

\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},

wobei die Topologie links durch die euklidische (bzw. Maximumsnorm) und rechts durch die Norm gegeben sei. Diese Abbildung ist nach der bisherigen Überlegung stetig. Die euklidische Einheitssphäre ${}S$ links ist kompakt und nach Fakt ist ${}S$ bezüglich der Norm ${}\Vert {-}\Vert$ ebenfalls überdeckungskompakt. Diese nennen wir ${}S'$ . Da ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit jeder Norm ein Hausdorff-Raum ist, ist ${}S'$ wegen Aufgabe insbesondere abgeschlossen. Da der Nullpunkt nicht zu ${}S'$ gehört, gibt es ein