Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normen äquivalent/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir verwenden Fakt. Die Norm und die Topologie hängen nur von dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ab, wir können also

annehmen. Zu einer Basis gibt es einen Isomorphismus

mit . Da unter dem Isomorphismus durch

eine Norm auf dem definiert wird, können wir direkt annehmen. Wir vergleichen nun eine beliebige Norm auf dem mit der Maximumsnorm bzw. der euklidischen Norm, von denen wir nach Beispiel schon wissen, dass sie untereinander äquivalent sind. Es sei . Wegen

sind hinreichend kleine -offene Bälle in -offenen Bällen enthalten. Die Topologie zur Maximumsnorm ist also mindestens so fein wie die Topologie zu jeder anderen Norm. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Identität

wobei die Topologie links durch die euklidische (bzw. Maximumsnorm) und rechts durch die Norm gegeben sei. Diese Abbildung ist nach der bisherigen Überlegung stetig. Die euklidische Einheitssphäre links ist kompakt und nach Fakt ist bezüglich der Norm ebenfalls überdeckungskompakt. Diese nennen wir . Da mit jeder Norm ein Hausdorff-Raum ist, ist wegen Aufgabe insbesondere abgeschlossen. Da der Nullpunkt nicht zu gehört, gibt es ein

mit

(der offene Ball in der -Topologie). Für ist wegen also

und somit

Zur bewiesenen Aussage