Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normen äquivalent/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt. Die Norm und die Topologie hängen nur von dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ab, wir können also

𝕂 = ℝ

annehmen. Zu einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ gibt es einen Isomorphismus

φ : ℝ^{n} ⟶ V

mit $e_{i} \mapsto v_{i}$ . Da unter dem Isomorphismus $φ$ durch

‖ u ‖^{'} := ‖ φ (u) ‖

eine Norm auf dem $ℝ^{n}$ definiert wird, können wir direkt $V = ℝ^{n}$ annehmen. Wir vergleichen nun eine beliebige Norm auf dem $ℝ^{n}$ mit der Maximumsnorm bzw. der euklidischen Norm, von denen wir nach Beispiel schon wissen, dass sie untereinander äquivalent sind. Es sei $v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i}$ . Wegen

\begin{matrix} ‖ v ‖ & = ‖ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i} ‖ \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} ‖ a_{i} e_{i} ‖ \\ = \sum_{i = 1}^{n} | a_{i} | \cdot ‖ e_{i} ‖ \\ \leq n \cdot max (‖ e_{i} ‖, i = 1, \dots, n) ‖ v ‖_{m a x} \end{matrix}

sind hinreichend kleine $‖ - ‖_{m a x}$ -offene Bälle in $‖ - ‖$ -offenen Bällen enthalten. Die Topologie zur Maximumsnorm ist also mindestens so fein wie die Topologie zu jeder anderen Norm. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Identität

ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n},

wobei die Topologie links durch die euklidische (bzw. Maximumsnorm) und rechts durch die Norm gegeben sei. Diese Abbildung ist nach der bisherigen Überlegung stetig. Die euklidische Einheitssphäre $S$ links ist kompakt nach dem Satz von Heine-Borel, und nach Fakt ist $S$ bezüglich der Norm $‖ - ‖$ ebenfalls überdeckungskompakt. Diese nennen wir $S^{'}$ . Da $ℝ^{n}$ mit jeder Norm ein Hausdorffraum ist, ist $S^{'}$ wegen Aufgabe insbesondere abgeschlossen. Da der Nullpunkt nicht zu $S^{'}$ gehört, gibt es ein

δ > 0

mit

U (0, δ) \cap S^{'} = \emptyset

(der offene Ball bezüglich $‖ - ‖$ ). Für $v \neq 0$ ist wegen $\frac{v}{‖ v ‖_{e u k}} \in S = S^{'}$ also

‖ \frac{v}{‖ v ‖_{e u k}} ‖ \geq δ

und somit

‖ v ‖_{e u k} \leq \frac{1}{δ} ‖ v ‖ .

Zur bewiesenen Aussage