Vektorraum/K/Normen äquivalent/Stetigkeit/Fakt

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und es seien ${}\Vert {-}\Vert _{1}$ und ${}\Vert {-}\Vert _{2}$ Normen auf ${}V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die beiden Normen sind äquivalent.
2. Die Identität

   $V\longrightarrow V$

   ist stetig, unabhängig davon, ob man ${}V$ links mit der ersten und rechts mit der zweiten Norm versieht oder umgekehrt.

3. Die ${}\Vert {-}\Vert _{1}$-Einheitskugel ist beschränkt in der ${}\Vert {-}\Vert _{2}$-Norm und umgekehrt.
4. Es gibt reelle Zahlen ${}a,b$ mit

   ${}\Vert {v}\Vert _{2}\leq a\Vert {v}\Vert _{1}\,$

   und

   ${}\Vert {v}\Vert _{1}\leq b\Vert {v}\Vert _{2}\,$

   für alle ${}v\in V$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen