Vektorraum/K/Normen äquivalent/Stetigkeit/Fakt

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Es sei ein -Vektorraum und es seien und Normen auf . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die beiden Normen sind äquivalent.
  2. Die Identität

    ist stetig, unabhängig davon, ob man links mit der ersten und rechts mit der zweiten Norm versieht oder umgekehrt.

  3. Die -Einheitskugel ist beschränkt in der -Norm und umgekehrt.
  4. Es gibt reelle Zahlen mit

    und

    für alle .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen