Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Implikation ${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft ${}(2)$ erfüllt. Wir können nach Aufgabe annehmen, dass ${}W=\mathbb {R}$ ist. Wir geben eine auf ${}U$ definierte Funktion ${}\varphi$ an, die total differenzierbar ist und deren totales Differential gleich der vorgegebenen Form ${}\omega$ ist. Dazu sei ein Punkt ${}P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt ${}Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Wir setzen

${}\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega \,.$

Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist ${}\varphi (Q)$ wohldefiniert. Wir zeigen zuerst, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt ${}Q\in U$ und in jede Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit ${}\omega (Q,v)$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir

${}\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)=\int _{\delta }\omega =\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\,,$

wobei ${}\delta$ der verbindende lineare Weg von ${}Q$ nach ${}Q+tv$ auf ${}[0,t]$ sei (und ${}t$ hinreichend klein sei, sodass ${}Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)}{t}}&=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\\&=\omega (Q,v)\end{aligned}}$

nach Fakt. Somit existiert die Richtungsableitung von ${}\varphi$ in Richtung ${}v$ und hängt, wegen der Stetigkeit der Differentialform, stetig von ${}Q$ ab. Daher ist ${}\varphi$ stetig differenzierbar und somit nach Fakt auch total differenzierbar. Die letzte Gleichung bedeutet dann

${}{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(Q\right)}=\omega (Q,v)\,,$

sodass ${}\omega$ exakt mit der Stammform ${}\varphi$ ist.

Zur bewiesenen Aussage