Verband/Ordnung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente ein Infimum und ein Supremum existiert, heißt Verband.

Es muss also gelten und jedes oberhalb von und von ist auch oberhalb von . Durch die allgemeine Existenz und auch dadurch, dass man oft endliche Verbände betrachtet, spielen die aus den reellen Zahlen bekannten Schwierigkeiten mit den Begriffen Infimum und Supremum hier keine Rolle.


Beispiel  

Eine total geordnete Menge ist stets ein Verband, da ja zu zwei Elementen das eine Element das Minimum und das andere das Maximum der beiden ist.



Beispiel  

Die positiven natürlichen Zahlen bilden mit der Teilbarkeit als Ordnung und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum und dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum einen Verband.



Beispiel  

Es sei eine Gruppe und die Menge aller Untergruppen von . Dann ist mit der Inklusion als Ordnung ein Verband. Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Untergruppen und das Supremum ist durch die von zwei Untergruppen erzeugte Untergruppe gegeben.



Beispiel  

Es sei eine endliche Körpererweiterung und die Menge aller Zwischenkörper. Dann ist mit der Inklusion als Ordnung ein Verband. Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Zwischenkörpern und das Supremum ist durch das Kompositum von zwei Zwischenkörpern (also dem durch zwei Zwischenkörper erzeugte Unterring, der wegen der Endlichkeitsvoraussetzung wieder ein Körper ist) gegeben.