Vollkommener Körper/Algebra/Endlichdimensional/Reduziert/Kähler/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}A$ reduziert ist, so liegt eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq A$ vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers separabel ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir ${}A=K[x]=K[X]/(F)$. Nach Fakt erzeugen ${}F$ und ${}F'$ das Einheitsideal und somit folgt aus ${}F'(x)dx=0$, dass sogar ${}dx=0$ ist. Somit folgt die Aussage aus Fakt.

Es sei nun angenommen, dass ${}A$ nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da ${}A$ eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit ${}x\in A$, ${}x\notin K$, ist ${}K[x]$ ein Erweiterungskörper von ${}K$. Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen Fakt annehmen, dass nur die Elemente aus ${}K\setminus {0}$ Einheiten in ${}A$ sind. Dann ist

${}A=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$

und die ${}x_{i}$ gehören zum maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Indem wir die Restklassenabbildung

$A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}^{2}$

betrachten und Fakt heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation

${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{i}X_{j},\,1\leq i\leq j\leq n)\,$

vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger ${}x_{1}\neq 0$ ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo ${}(x_{2},\ldots ,x_{n})$ gehen und erhalten die Situation ${}K[X]/(X^{2})$. Dafür zeigt Fakt, dass ${}dx\neq 0$ ist.

Zur bewiesenen Aussage