Volumenberechnung/R^n/Kompakt/Lineare Abbildung/Textabschnitt

Eine weitere wichtige Eigenschaft der Maßtheorie ist die Translationsinvarianz. Für eine beliebige Teilmenge  ${}T\subseteq V$  in einem Vektorraum ${}V$ und einen Vektor  ${}v\in V$  nennt man

${}T+v={\left\{x+v\mid x\in T\right\}}\,$

die um ${}v$ verschobene Menge.

Lemma

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine kompakte Teilmenge und  ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$. 

Dann ist

${}\lambda ^{n}(T+v)=\lambda ^{n}(T)\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus der Überpflasterungseigenschaft, da beliebige Quader-Überpflasterungen mitverschoben werden können und so über die gleiche Menge das Infimum gebildet wird.

$\Box$

Für lineare Abbildungen gilt die folgende Beziehung zwischen dem Volumen einer Teilmenge und dem Volumen ihres Bildes.

Satz

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine kompakte Teilmenge und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto \varphi (x),$

eine lineare Abbildung.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(\varphi (T))=\vert {\det \varphi }\vert \cdot \lambda ^{n}(T)\,.$

Beweis

Dies folgt u.A. aus der multiplikativen Zerlegung einer Matrix in Elementarmatrizen und eine Diagonalmatrix und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.

$\Box$

Korollar

Bei einer Streckung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto av,$

um den Streckungsfaktor  ${}a\in \mathbb {R}$  gilt für jede kompakte Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 

die Formel

${}\lambda ^{n}(\varphi (T))=\vert {a}\vert ^{n}\cdot \lambda ^{n}(T)\,.$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt

$\Box$

Beispiel

Den Flächeninhalt des Einheitskreises haben wir in Beispiel über ein Integral als ${}\pi$ bestimmt. Unter der durch die Matrix  ${}M={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}$  gegebenen linearen Abbildung wird die Einheitskreisscheibe ${}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ auf

${\left\{(ax,by)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid {\frac {1}{a^{2}}}u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}v^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}\leq a^{2}b^{2}\right\}}\,$

abgebildet. Das Bild ist eine (achsenparallele) Ellipsenscheibe. Ihr Flächeninhalt ist nach Fakt gleich ${}\pi ab$.