Volumenberechnung/R^n/Kompakt/Lineare Abbildung/Textabschnitt

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Translation illustration.svg

Eine weitere wichtige Eigenschaft der Maßtheorie ist die Translationsinvarianz. Für eine beliebige Teilmenge in einem Vektorraum und einen Vektor nennt man

die um verschobene Menge.


Lemma

Es sei eine kompakte Teilmenge und .

Dann ist

Beweis

Dies folgt direkt aus der Überpflasterungseigenschaft, da beliebige Quader-Überpflasterungen mitverschoben werden können und so über die gleiche Menge das Infimum gebildet wird.


Für lineare Abbildungen gilt die folgende Beziehung zwischen dem Volumen einer Teilmenge und dem Volumen ihres Bildes.


Satz

Es sei eine kompakte Teilmenge und

eine lineare Abbildung.

Dann ist

Beweis

Dies folgt u.A. aus der multiplikativen Zerlegung einer Matrix in Elementarmatrizen und eine Diagonalmatrix und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.



Korollar

Bei einer Streckung

um den Streckungsfaktor gilt für jede kompakte Teilmenge

die Formel

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt



Beispiel  

Den Flächeninhalt des Einheitskreises haben wir in Beispiel über ein Integral als bestimmt. Unter der durch die Matrix gegebenen linearen Abbildung wird die Einheitskreisscheibe auf

abgebildet. Das Bild ist eine (achsenparallele) Ellipsenscheibe. Ihr Flächeninhalt ist nach Fakt gleich .