Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Artinsymbol/Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine Galoiserweiterung mit einer abelschen Galoisgruppe ${}G$ und es sei ${}S$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei  ${}N\subseteq G$  eine Untergruppe mit der Restklassengruppe  ${}H=G/N$  und  ${}R=S^{N}\subseteq K=L^{N}$.  Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}{\mathfrak {q}}$ ein unverzweigtes Primideal von ${}S$ oberhalb von ${}(p)$ und  ${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R$.  Zeige unter Verwendung des kommutativen Diagrammes

${\begin{matrix}G_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {p}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

aus Aufgabe, dass das Artinsymbol ${}{\left(p,L/\mathbb {Q} \right)}$ auf das Artinsymbol ${}{\left(p,K/\mathbb {Q} \right)}$ abgebildet wird.

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